यदि एक धनात्मक पूर्णांक n के लिए,द्विघात समीक | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण $\sum_{r=1}^{n} (x + r - 1)(x + r) = 10n$ है।पदों का विस्तार करने पर: $\sum_{r=1}^{n} (x^2 + (2r - 1)x + r^2 - r) = 10n$.$r$ पर यो

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$11$

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(A) दिया गया समीकरण $\sum_{r=1}^{n} (x + r - 1)(x + r) = 10n$ है।पदों का विस्तार करने पर: $\sum_{r=1}^{n} (x^2 + (2r - 1)x + r^2 - r) = 10n$.$r$ पर योग करने पर: $nx^2 + x \sum_{r=1}^{n} (2r - 1) + \sum_{r=1}^{n} (r^2 - r) = 10n$.योग सूत्रों का उपयोग करने पर: $\sum_{r=1}^{n} (2r - 1) = n^2$ और $\sum_{r=1}^{n} (r^2 - r) = \frac{(n-1)n(n+1)}{3}$.अतः,$nx^2 + n^2x + \frac{n(n^2 - 1)}{3} = 10n$.$n$ से भाग देने पर $(n 
eq 0)$: $x^2 + nx + \frac{n^2 - 1}{3} = 10$.$x^2 + nx + \frac{n^2 - 31}{3} = 0$.माना मूल $\alpha$ और $\alpha + 1$ हैं। मूलों का योग: $2\alpha + 1 = -n \Rightarrow \alpha = \frac{-(n+1)}{2}$.मूलों का गुणनफल: $\alpha(\alpha + 1) = \frac{n^2 - 31}{3}$.$\alpha$ का मान रखने पर: $\left(\frac{-(n+1)}{2}ight) \left(\frac{-(n+1)}{2} + 1ight) = \frac{n^2 - 31}{3}$.$\left(\frac{-(n+1)}{2}ight) \left(\frac{1-n}{2}ight) = \frac{n^2 - 31}{3} \Rightarrow \frac{n^2 - 1}{4} = \frac{n^2 - 31}{3}$.$3n^2 - 3 = 4n^2 - 124 \Rightarrow n^2 = 121 \Rightarrow n = 11$.

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