જો ધન પૂર્ણાંક n માટે,દ્વિઘાત સમીકરણ x(x + 1) | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ સમીકરણ $\sum_{r=1}^{n} (x + r - 1)(x + r) = 10n$ છે.પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $\sum_{r=1}^{n} (x^2 + (2r - 1)x + r^2 - r) = 10n$.$r$ પર સરવાળો કરત

Vedclass · Accepted Answer

$11$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ સમીકરણ $\sum_{r=1}^{n} (x + r - 1)(x + r) = 10n$ છે.પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $\sum_{r=1}^{n} (x^2 + (2r - 1)x + r^2 - r) = 10n$.$r$ પર સરવાળો કરતા: $nx^2 + x \sum_{r=1}^{n} (2r - 1) + \sum_{r=1}^{n} (r^2 - r) = 10n$.સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા: $\sum_{r=1}^{n} (2r - 1) = n^2$ અને $\sum_{r=1}^{n} (r^2 - r) = \frac{(n-1)n(n+1)}{3}$.તેથી,$nx^2 + n^2x + \frac{n(n^2 - 1)}{3} = 10n$.$n$ વડે ભાગતા $(n 
eq 0)$: $x^2 + nx + \frac{n^2 - 1}{3} = 10$.$x^2 + nx + \frac{n^2 - 31}{3} = 0$.ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $\alpha + 1$ છે. બીજનો સરવાળો: $2\alpha + 1 = -n \Rightarrow \alpha = \frac{-(n+1)}{2}$.બીજનો ગુણાકાર: $\alpha(\alpha + 1) = \frac{n^2 - 31}{3}$.$\alpha$ ની કિંમત મૂકતા: $\left(\frac{-(n+1)}{2}ight) \left(\frac{-(n+1)}{2} + 1ight) = \frac{n^2 - 31}{3}$.$\left(\frac{-(n+1)}{2}ight) \left(\frac{1-n}{2}ight) = \frac{n^2 - 31}{3} \Rightarrow \frac{n^2 - 1}{4} = \frac{n^2 - 31}{3}$.$3n^2 - 3 = 4n^2 - 124 \Rightarrow n^2 = 121 \Rightarrow n = 11$.

જો ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,દ્વિઘાત સમીકરણ $x(x + 1) + (x + 1)(x + 2) + \dots + (x + n - 1)(x + n) = 10n$ ના બે ક્રમિક પૂર્ણાંક ઉકેલો હોય,તો $n$ ની કિંમત શોધો:

Similar Questions

સમીકરણ $e^{\sin x} - e^{\sin(-x)} - 4 = 0$ ને

જો સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ હોય,તો સમીકરણ $cx^2 + bx + a = 0$ ના બીજ કયા હશે?

એક દ્વિઘાત સમીકરણના બીજનો સરવાળો $2$ છે અને તેમના ઘનનો સરવાળો $98$ છે,તો તે સમીકરણ કયું છે?

જો $x^{2}+y^{2}+1=2x$ હોય,તો $x^{3}+y^{5}$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module