यदि कुछ $m, n$ के लिए,${ }^6 C_{m}+2({ }^6 C_{m+1})+{ }^6 C_{m+2} > { }^8 C_3$ और ${ }^{n-1} P_3 : { }^n P_4 = 1 : 8$ है,तो ${ }^n P_{m+1} + { }^{n+1} C_m$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $x={ }^{16} C_5+{ }^{12} C_4, y=\sum_{r=1}^3{ }^{(20-r)} C_4, z=\sum_{k=1}^4{ }^{(16-k)} C_3$ है,तो $x+y+z=$

$212$ और $999$ के बीच ऐसी प्राकृतिक संख्याओं की संख्या,जिनके अंकों का योग $15$ है, . . . . . . है।

$1, 2, 3, 4$ अंकों का उपयोग करके चार अंकों की संख्याएँ बनाई जाती हैं (पुनरावृत्ति की अनुमति है)। ऐसी चार अंकों की संख्याएँ जो $11$ से विभाज्य हैं,उनकी संख्या क्या है?

$2, 3, 4, 5$ और $7$ अंकों का उपयोग करके बनाई गई $3$-अंकीय संख्याएँ,जिनमें अंकों की पुनरावृत्ति नहीं होती है और जो $3$ से विभाज्य नहीं हैं,उनकी संख्या .......... है।

समूह $A$ में $4$ पुरुष और $5$ महिलाएँ हैं,और समूह $B$ में $5$ पुरुष और $4$ महिलाएँ हैं। यदि प्रत्येक समूह से $4$ व्यक्तियों का चयन किया जाता है,तो $4$ पुरुषों और $4$ महिलाओं के चयन के तरीकों की संख्या क्या है?