यदि एक समलंब चतुर्भुज की असमांतर भुजाएँ बराबर हैं,तो सिद्ध कीजिए कि वह चक्रीय है।

(N/A) दिया है: $ABCD$ एक समलंब चतुर्भुज है जिसमें $AD \parallel BC$ और इसकी असमांतर भुजाएँ $AB$ और $DC$ बराबर हैं,अर्थात $AB = DC$ है।
सिद्ध करना है: समलंब चतुर्भुज $ABCD$ चक्रीय है।
रचना: $AM \perp BC$ और $DN \perp BC$ खींचिए।
उपपत्ति: समकोण त्रिभुजों $\Delta AMB$ और $\Delta DNC$ में:
$\angle AMB = \angle DNC = 90^{\circ}$ (रचना से)
$AB = DC$ (दिया है)
$AM = DN$ (दो समांतर रेखाओं के बीच की दूरी समान होती है)
अतः,$\Delta AMB \cong \Delta DNC$ ($RHS$ सर्वांगसमता नियम से)।
इस प्रकार,$\angle B = \angle C$ $(CPCT)$।
साथ ही,$\angle BAM = \angle CDN$ $(CPCT)$।
चूँकि $\angle AMB = 90^{\circ}$ और $\angle DNC = 90^{\circ}$ है,तो $\angle MAB = 90^{\circ} - \angle B$ और $\angle NDC = 90^{\circ} - \angle C$ होगा। चूँकि $\angle B = \angle C$ है,इसलिए $\angle MAB = \angle NDC$ होगा।
अब,$\angle BAD = \angle BAM + \angle MAD = \angle BAM + 90^{\circ}$ और $\angle CDA = \angle CDN + \angle NDA = \angle CDN + 90^{\circ}$ है।
चूँकि $\angle BAM = \angle CDN$ है,इसलिए $\angle BAD = \angle CDA$ होगा।
चतुर्भुज $ABCD$ में,$\angle B + \angle C + \angle CDA + \angle BAD = 360^{\circ}$ है।
$\angle C = \angle B$ और $\angle CDA = \angle BAD$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2\angle B + 2\angle BAD = 360^{\circ}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\angle B + \angle BAD = 180^{\circ}$ है।
चूँकि सम्मुख कोणों के एक युग्म का योग $180^{\circ}$ है,इसलिए समलंब चतुर्भुज $ABCD$ चक्रीय है।