यदि श्रेणी log _{9^{1 / 2}} x + log _{9^{1 / | vedclass

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Question

(A) दी गई श्रेणी $\log _{9^{1/2}} x + \log _{9^{1/3}} x + \log _{9^{1/4}} x + \dots$ है।$\log_{a^b} x = \frac{1}{b} \log_a x$ गुणधर्म का उपयोग करने पर

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$81$

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(A) दी गई श्रेणी $\log _{9^{1/2}} x + \log _{9^{1/3}} x + \log _{9^{1/4}} x + \dots$ है।$\log_{a^b} x = \frac{1}{b} \log_a x$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,पद इस प्रकार हैं:$2 \log_9 x + 3 \log_9 x + 4 \log_9 x + \dots$यह $21$ पदों की एक समांतर श्रेणी है जहाँ प्रथम पद $a = 2 \log_9 x$ और सार्व अंतर $d = \log_9 x$ है।$n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]$ होता है।$n = 21$ के लिए,$S_{21} = \frac{21}{2} [2(2 \log_9 x) + (21-1) \log_9 x] = 504$.$S_{21} = \frac{21}{2} [4 \log_9 x + 20 \log_9 x] = \frac{21}{2} [24 \log_9 x] = 252 \log_9 x$.दिया गया है कि $252 \log_9 x = 504$,इसलिए $\log_9 x = 2$.अतः,$x = 9^2 = 81$.

यदि श्रेणी $\log _{9^{1 / 2}} x + \log _{9^{1 / 3}} x + \log _{9^{1 / 4}} x + \dots$ जहाँ $x > 0$ के प्रथम $21$ पदों का योग $504$ है,तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए:

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