यदि एक G.P. के 2^{text{nd}} और 5^{text{th}} प | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि,$T_{2} = 24$ और $T_{5} = 3$.$G$.$P$. में,$n^{	ext{th}}$ पद $T_{n} = ar^{n-1}$ द्वारा दिया जाता है।अतः,$ar = 24$ $(1)$ और $ar^{4} =

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$ \frac{189}{2} $

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(A) दिया गया है कि,$T_{2} = 24$ और $T_{5} = 3$.$G$.$P$. में,$n^{	ext{th}}$ पद $T_{n} = ar^{n-1}$ द्वारा दिया जाता है।अतः,$ar = 24$ $(1)$ और $ar^{4} = 3$ $(2)$.समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{ar^{4}}{ar} = \frac{3}{24}$ $\Rightarrow r^{3} = \frac{1}{8}$ $\Rightarrow r = \frac{1}{2}$.$r = \frac{1}{2}$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर,$a 	imes \frac{1}{2} = 24 \Rightarrow a = 48$.$G$.$P$. के प्रथम $n$ पदों का योग $S_{n} = \frac{a(1-r^{n})}{1-r}$ होता है।$n = 6$ के लिए,$S_{6} = \frac{48(1-(1/2)^{6})}{1-1/2} = \frac{48(1-1/64)}{1/2} = 96 	imes \frac{63}{64} = \frac{3 	imes 63}{2} = \frac{189}{2}$.

यदि एक $G$.$P$. के $2^{\text{nd}}$ और $5^{\text{th}}$ पद क्रमशः $24$ और $3$ हैं,तो प्रथम $6$ पदों का योग क्या होगा?

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सिद्ध कीजिए कि एक $G.P.$ के प्रथम $n$ पदों के योगफल और $(n+1)^{th}$ से $(2n)^{th}$ पद तक के पदों के योगफल का अनुपात $\frac{1}{r^{n}}$ है।

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यदि $x$ को संख्याओं $3, 9, 21$ में से प्रत्येक में जोड़ा जाता है ताकि परिणामी संख्याएँ $G.P.$ में हों,तो $x$ का मान क्या होगा?

गुणोत्तर श्रेणी (Geometric Progression): $x^{3}, x^{5}, x^{7}, \ldots$ में $n$ पदों तक का योग ज्ञात कीजिए (जहाँ $x \neq \pm 1$)।

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