જો દ્વિપદી $[\sqrt{2^{\log(10 - 3^x)}} + \sqrt[5]{2^{(x - 2)\log 3}}]^m$ ના વિસ્તરણમાં $6^{th}$ પદ $21$ હોય અને તે જાણીતું છે કે વિસ્તરણમાં $2^{nd}$,$3^{rd}$ અને $4^{th}$ પદના દ્વિપદી સહગુણકો અનુક્રમે $A.P.$ ના પ્રથમ,ત્રીજા અને પાંચમા પદ દર્શાવે છે (અહીં $\log$ એટલે $10$ ના આધાર પર લઘુગણક),તો $x = $

ધારો કે $(1+x+x^2)^{10}=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\ldots+a_{20} x^{20}$. જો $(a_1+a_3+a_5+\ldots+a_{19})-11 a_2=121 k$ હોય,તો $k$ ની કિંમત . . . . . . છે.

$(1-x)^{2008}(1+x+x^2)^{2007}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{2012}$ નો સહગુણક કેટલો થાય?

ધારો કે $\lambda$ એ સમીકરણ $x^2-x-1=0$ નું ધન બીજ છે,અને $n \in N$ માટે $a_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\lambda^n - (1-\lambda)^n\right)$ લો,જ્યાં $N$ એ તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ છે. ગણ $A = \{ n \in N : a_n \text{ એ સંમેય સંખ્યા છે, પરંતુ પૂર્ણાંક નથી} \}$ અને $B = \{ n \in N : a_n \text{ એ અસંમેય સંખ્યા છે} \}$ ધ્યાનમાં લો. તો:

$x > 1$ માટે $(x + \sqrt{x^3 - 1})^6 + (x - \sqrt{x^3 - 1})^6$ ના વિસ્તરણમાં $x$ ના તમામ યુગ્મ ઘાતવાળા પદોના સહગુણકોનો સરવાળો કેટલો થાય?

ધારો કે $(5 + 2\sqrt{6})^n = p + f$,જ્યાં $n \in N$,$p \in N$,અને $0 < f < 1$ છે. તો $f^2 - f + pf - p$ ની કિંમત શું છે?