ધારો કે $(5 + 2\sqrt{6})^n = p + f$,જ્યાં $n \in N$,$p \in N$,અને $0 < f < 1$ છે. તો $f^2 - f + pf - p$ ની કિંમત શું છે?

ધારો કે $\lambda$ એ સમીકરણ $x^2-x-1=0$ નું ધન બીજ છે,અને $n \in N$ માટે $a_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\lambda^n - (1-\lambda)^n\right)$ લો,જ્યાં $N$ એ તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ છે. ગણ $A = \{ n \in N : a_n \text{ એ સંમેય સંખ્યા છે, પરંતુ પૂર્ણાંક નથી} \}$ અને $B = \{ n \in N : a_n \text{ એ અસંમેય સંખ્યા છે} \}$ ધ્યાનમાં લો. તો:

શ્રેણી $2 \times 1 \times {}^{20}C_4 - 3 \times 2 \times {}^{20}C_5 + 4 \times 3 \times {}^{20}C_6 - 5 \times 4 \times {}^{20}C_7 + \dots + 18 \times 17 \times {}^{20}C_{20}$ નો સરવાળો કેટલો થાય?

જો $\left(1+\frac{1}{x}\right)^6\left(1+x^2\right)^7\left(1-x^3\right)^8 ; x \neq 0$ ના વિસ્તરણમાં $x^{30}$ નો સહગુણક $\alpha$ હોય,તો $|\alpha|$ ની કિંમત શોધો.

જો દ્વિપદી $[\sqrt{2^{\log(10 - 3^x)}} + \sqrt[5]{2^{(x - 2)\log 3}}]^m$ ના વિસ્તરણમાં $6^{th}$ પદ $21$ હોય અને તે જાણીતું છે કે વિસ્તરણમાં $2^{nd}$,$3^{rd}$ અને $4^{th}$ પદના દ્વિપદી સહગુણકો અનુક્રમે $A.P.$ ના પ્રથમ,ત્રીજા અને પાંચમા પદ દર્શાવે છે (અહીં $\log$ એટલે $10$ ના આધાર પર લઘુગણક),તો $x = $

જો $(1 - x + 2x^2)^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_{2n}x^{2n}$,જ્યાં $n \in N$,$x \in R$,અને $a_0, a_1, a_2$ સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ માં હોય,તો: