જો $[0, 2]$ પર વ્યાખ્યાયિત વિધેય $f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 3$ ની નિરપેક્ષ મહત્તમ અને નિરપેક્ષ ન્યૂનતમ કિંમતો અનુક્રમે $M$ અને $m$ હોય, તો $M + m =$ શું થાય?

પ્રદેશ $R = \{(x, y) : x \leq y \leq 9 - \frac{11}{3} x^2, x \geq 0\}$ ધ્યાનમાં લો. $R$ માં અંતર્ગત અને યામ અક્ષોને સમાંતર બાજુઓ ધરાવતા સૌથી મોટા લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ કેટલું થાય?

જો વાસ્તવિક રેખા $R$ પર વ્યાખ્યાયિત સતત વિધેય $f$ એ $R$ માં ધન અને ઋણ કિંમતો ધારણ કરે,તો સમીકરણ $f(x)=0$ ને $R$ માં એક બીજ હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે,જો એવું જાણીતું હોય કે $R$ પરનું સતત વિધેય $f$ કોઈ બિંદુએ ધન છે અને તેની ન્યૂનતમ કિંમત ઋણ છે,તો સમીકરણ $f(x)=0$ ને $R$ માં એક બીજ હોય છે.
બધા વાસ્તવિક $x$ માટે $f(x)=k e^x-x$ ધ્યાનમાં લો,જ્યાં $k$ એ વાસ્તવિક અચળાંક છે.
$1.$ રેખા $y=x$ એ $k \leq 0$ માટે $y=k e^x$ ને ક્યાં મળે છે?
$(A)$ કોઈ બિંદુએ નહીં $(B)$ એક બિંદુએ $(C)$ બે બિંદુએ $(D)$ બે થી વધુ બિંદુએ
$2.$ $k$ ની ધન કિંમત જેના માટે $k e^x-x=0$ ને માત્ર એક જ બીજ હોય તે છે
$(A)$ $1/e$ $(B)$ $1$ $(C)$ $e$ $(D)$ $\log_e 2$
$3.$ $k>0$ માટે,$k$ ની તમામ કિંમતોનો ગણ જેના માટે $k e^x-x=0$ ને બે ભિન્ન બીજ હોય તે છે
$(A)$ $(0, 1/e)$ $(B)$ $(1/e, 1)$ $(C)$ $(1/e, \infty)$ $(D)$ $(0, 1)$
પ્રશ્ન $1, 2$ અને $3$ ના જવાબ આપો.

$\frac{\log x}{x}, 0 < x < \infty$ ની મહત્તમ કિંમત શોધો.

વિધેય $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 4$ માટે

આપેલ પરિમિતિ માટે લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ ત્યારે મહત્તમ હશે જ્યારે લંબચોરસ એક