यदि वक्र x=12(t+sin t cos t),y =12(1+sin t )^ | vedclass

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Question

(C) वक्र के प्राचलिक समीकरण $x = 12(t + \sin t \cos t)$ और $y = 12(1 + \sin t)^2$ दिए गए हैं।सबसे पहले,$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\frac{dx}{dt} = 1

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(C) वक्र के प्राचलिक समीकरण $x = 12(t + \sin t \cos t)$ और $y = 12(1 + \sin t)^2$ दिए गए हैं।सबसे पहले,$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\frac{dx}{dt} = 12(1 + \cos^2 t - \sin^2 t) = 12(1 + \cos 2t) = 12(2 \cos^2 t) = 24 \cos^2 t$.$\frac{dy}{dt} = 12 	imes 2(1 + \sin t) \cos t = 24(1 + \sin t) \cos t$.स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{24(1 + \sin t) \cos t}{24 \cos^2 t} = \frac{1 + \sin t}{\cos t}$ है।चूंकि स्पर्श रेखा धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $\frac{\pi}{3}$ का कोण बनाती है,इसलिए ढाल $	an(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$ है।अतः,$\frac{1 + \sin t}{\cos t} = \sqrt{3} \Rightarrow 1 + \sin t = \sqrt{3} \cos t$.दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करने पर,$\frac{1}{2} \sin t + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos t = \frac{1}{2} \Rightarrow \sin(t + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।चूंकि $0 अतः,$t + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} \Rightarrow t = \frac{\pi}{6}$.अब,$y$ के समीकरण में $t = \frac{\pi}{6}$ रखने पर:$y_{0} = 12(1 + \sin(\frac{\pi}{6}))^2 = 12(1 + \frac{1}{2})^2 = 12(\frac{3}{2})^2 = 12 	imes \frac{9}{4} = 27$.

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