જો $\left(\frac{\sqrt[5]{3}}{x}+\frac{2x}{\sqrt[3]{5}}\right)^{12}, x \neq 0$ ના વિસ્તરણમાં અચળ પદ $\alpha \times 2^8 \times \sqrt[5]{3}$ હોય,તો $25 \alpha$ ની કિંમત શોધો :

$(\alpha + p)^{m - 1} + (\alpha + p)^{m - 2} (\alpha + q) + (\alpha + p)^{m - 3} (\alpha + q)^2 + \dots + (\alpha + q)^{m - 1}$ ના વિસ્તરણમાં $\alpha^t$ નો સહગુણક શોધો,જ્યાં $\alpha \neq -q$ અને $p \neq q$ છે.

જો ${\left( {\frac{3}{{{{\left( {84} \right)}^{\frac{1}{3}}}}} + \sqrt 3 \ln x} \right)^9}$ ના દ્વિપદી વિસ્તરણમાં શરૂઆતથી $7^{th}$ પદ $x > 0$ માટે $729$ હોય,તો $x$ ની શક્ય કિંમત છે:

$\left(\frac{x}{\cos \theta}+\frac{1}{x \sin \theta}\right)^{16}$ ના વિસ્તરણમાં,જો $\frac{\pi}{8} \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}$ હોય ત્યારે $x$ થી સ્વતંત્ર પદનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $\ell_{1}$ હોય અને $\frac{\pi}{16} \leq \theta \leq \frac{\pi}{8}$ હોય ત્યારે $x$ થી સ્વતંત્ર પદનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $\ell_{2}$ હોય,તો ગુણોત્તર $\ell_{2} : \ell_{1}$ કેટલો થાય?

$(\sqrt{3} + \sqrt[8]{5})^{256}$ ના વિસ્તરણમાં પૂર્ણાંક પદોની સંખ્યા કેટલી છે?

${\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^{18}}$ ના વિસ્તરણમાં મધ્યમ પદ કયું છે?