यदि उद्देश्य फलन $z = 7x - 8y$ के लिए बाधाओं $x + y \leqslant 20$,$y \geqslant 5$,$x, y \geqslant 0$ के अधीन अधिकतम और न्यूनतम मानों के बीच का अंतर $5k + 200$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

असमिकाओं $x+y \leq 3$,$2x+5y \geq 10$,$x \geq 0$,$y \geq 0$ के लिए,निम्नलिखित में से कौन सा बिंदु सुसंगत क्षेत्र (feasible region) में स्थित है?

लागत फलन $Z$,$Z = 4x + 6y$ द्वारा दिया गया है। इसे न्यूनतम करना है। इस फलन $Z$ के लिए सुसंगत क्षेत्र निम्नलिखित आकृति में छायांकित क्षेत्र द्वारा दर्शाया गया है। तब $Z$ का न्यूनतम मान और वह बिंदु जहाँ यह प्राप्त होता है,है:

एक निर्माता दो प्रकार के खिलौने $A$ और $B$ बनाता है। इस उद्देश्य के लिए तीन मशीनों की आवश्यकता होती है और प्रत्येक खिलौने के लिए मशीनों पर आवश्यक समय (मिनटों में) नीचे दिया गया है:

खिलौनों के प्रकार	मशीन-$I$	मशीन-$II$	मशीन-$III$
$A$	$12$	$18$	$6$
$B$	$6$	$0$	$9$

प्रत्येक मशीन प्रतिदिन अधिकतम $6 \, \text{घंटे}$ $(360 \, \text{मिनट})$ के लिए उपलब्ध है। यदि प्रकार $A$ के प्रत्येक खिलौने पर लाभ $Rs. \, 7.50$ है और प्रकार $B$ के प्रत्येक खिलौने पर लाभ $Rs. \, 5$ है,तो अधिकतम लाभ प्राप्त करने के लिए प्रतिदिन प्रत्येक प्रकार के कितने खिलौने बनाए जाने चाहिए,यह ज्ञात कीजिए।

एक कंपनी प्लाईवुड से दो प्रकार के नवीन स्मृति चिन्ह (souvenirs) बनाती है। प्रकार $A$ के स्मृति चिन्हों के लिए काटने में $5 \text{ मिनट}$ और असेंबल करने में $10 \text{ मिनट}$ लगते हैं। प्रकार $B$ के स्मृति चिन्हों के लिए काटने में $8 \text{ मिनट}$ और असेंबल करने में $8 \text{ मिनट}$ लगते हैं। काटने के लिए $3 \text{ घंटे } 20 \text{ मिनट}$ और असेंबल करने के लिए $4 \text{ घंटे}$ उपलब्ध हैं। प्रकार $A$ पर $Rs. 5$ और प्रकार $B$ के स्मृति चिन्हों पर $Rs. 6$ का लाभ होता है। अधिकतम लाभ प्राप्त करने के लिए कंपनी को प्रत्येक प्रकार के कितने स्मृति चिन्ह बनाने चाहिए?

$3x+2y \leq 18$,$x \leq 4$,$y \leq 6$ और $x, y \geq 0$ के अंतर्गत $Z=3x+5y$ का अधिकतम मान है