यदि फलन f(x) = cos^{-1}(frac{2x-5}{11-3x}) + | vedclass

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Question

(B) फलन $f(x) = \cos^{-1}(\frac{2x-5}{11-3x}) + \sin^{-1}(2x^2-3x+1)$ के प्रांत के लिए, हमें दोनों प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों की शर्तों को संतुष्ट कर

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$3$

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(B) फलन $f(x) = \cos^{-1}(\frac{2x-5}{11-3x}) + \sin^{-1}(2x^2-3x+1)$ के प्रांत के लिए, हमें दोनों प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों की शर्तों को संतुष्ट करना होगा।$1$) $\sin^{-1}(2x^2-3x+1)$ के लिए, हमें $-1 \le 2x^2-3x+1 \le 1$ की आवश्यकता है।$2x^2-3x+1 \le 1 \implies 2x^2-3x \le 0 \implies x(2x-3) \le 0 \implies x \in [0, \frac{3}{2}]$.$2x^2-3x+1 \ge -1 \implies 2x^2-3x+2 \ge 0$. यहाँ विविक्तकर (discriminant) $D = (-3)^2 - 4(2)(2) = 9 - 16 = -7 अतः, पहली शर्त $x \in [0, \frac{3}{2}]$ देती है।$2$) $\cos^{-1}(\frac{2x-5}{11-3x})$ के लिए, हमें $-1 \le \frac{2x-5}{11-3x} \le 1$ की आवश्यकता है।$\frac{2x-5}{11-3x} + 1 \ge 0 \implies \frac{2x-5+11-3x}{11-3x} \ge 0 \implies \frac{6-x}{11-3x} \ge 0 \implies \frac{x-6}{x-11/3} \ge 0$. यह $x \in (-\infty, 11/3) \cup [6, \infty)$ देता है।$\frac{2x-5}{11-3x} - 1 \le 0 \implies \frac{2x-5-11+3x}{11-3x} \le 0 \implies \frac{5x-16}{11-3x} \le 0 \implies \frac{x-16/5}{x-11/3} \ge 0$. यह $x \in (-\infty, 16/5] \cup (11/3, \infty)$ देता है।इन दोनों शर्तों का प्रतिच्छेदन (intersection) लेने पर, हमें $x \in (-\infty, 16/5] \cup [6, \infty)$ प्राप्त होता है।$3$) अंत में, $(1)$ और $(2)$ के परिणामों का प्रतिच्छेदन लेने पर:$[0, 3/2] \cap ((-\infty, 16/5] \cup [6, \infty)) = [0, 3/2]$.अतः, $\alpha = 0$ और $\beta = 3/2$.इसलिए, $\alpha + 2\beta = 0 + 2(3/2) = 3$.

यदि फलन $f(x) = \cos^{-1}(\frac{2x-5}{11-3x}) + \sin^{-1}(2x^2-3x+1)$ का प्रांत (domain) अंतराल $[\alpha, \beta]$ है, तो $\alpha + 2\beta$ का मान ज्ञात कीजिए:

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