यदि पृथ्वी अपने द्रव्यमान में बिना किसी परिवर्तन के अचानक अपने वर्तमान आकार के $(1/3)$ भाग तक सिकुड़ जाती है, तो संकुचन के बाद और पहले पृथ्वी की गतिज ऊर्जा का अनुपात क्या होगा? (पृथ्वी को अपने अक्ष पर घूमने वाला एक गोला माना गया है।)

$L$ लंबाई की एक पतली छड़ को घर्षणरहित क्षैतिज फर्श पर ऊर्ध्वाधर रूप से रखा जाता है और इसे गिरने देने के लिए नगण्य धक्का देकर छोड़ा जाता है। किसी भी क्षण,छड़ ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण बनाती है। यदि द्रव्यमान केंद्र का त्वरण $= A$ है,और उस क्षण छड़ का कोणीय त्वरण $= \alpha$ है,तो:

$m$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले एक ठोस गोले का उसके द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$ है। इसे $t$ मोटाई की एक डिस्क में पुनर्गठित किया जाता है,जिसका उसकी रिम (किनारे) से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$ ही रहता है। तो डिस्क की त्रिज्या क्या है?

$M=0.2 \ kg$ द्रव्यमान का एक कण प्रारंभ में $xy$-समतल में बिंदु $(x=-l, y=-h)$ पर विरामावस्था में है,जहाँ $l=10 \ m$ और $h=1 \ m$ है। कण को $t=0$ समय पर धनात्मक $x$-दिशा में $a=10 \ m/s^2$ के निरंतर त्वरण के साथ त्वरित किया जाता है। मूल बिंदु के सापेक्ष इसका कोणीय संवेग और बलाघूर्ण,$SI$ इकाइयों में,क्रमशः $\vec{L}$ और $\vec{\tau}$ द्वारा दर्शाए गए हैं। $\hat{i}, \hat{j}$ और $\hat{k}$ क्रमशः धनात्मक $x, y$ और $z$-दिशाओं में इकाई सदिश हैं। यदि $\hat{k}=\hat{i} \times \hat{j}$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सही है/हैं?
$(A)$ कण $t=2 \ s$ समय पर बिंदु $(x=l, y=-h)$ पर पहुँचता है।
$(B)$ जब कण बिंदु $(x=l, y=-h)$ से गुजरता है तो $\vec{\tau}=2 \hat{k}$ होता है।
$(C)$ जब कण बिंदु $(x=l, y=-h)$ से गुजरता है तो $\vec{L}=4 \hat{k}$ होता है।
$(D)$ जब कण बिंदु $(x=0, y=-h)$ से गुजरता है तो $\vec{\tau}=\hat{k}$ होता है।

निम्नलिखित चार ग्राफों में से कौन सा ग्राफ एक समान त्रिकोणीय लैमिना के उसके आधार से $x$ दूरी पर स्थित एक समानांतर अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$ के $x$ के साथ परिवर्तन को सबसे अच्छी तरह दर्शाता है?

$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक डिस्क चित्र में दिखाए अनुसार अपनी ऊर्ध्वाधर अक्ष के परितः घूमने के लिए स्वतंत्र है। नगण्य द्रव्यमान वाली एक बैटरी चालित मोटर इस डिस्क पर इसकी परिधि के एक बिंदु पर स्थिर है। समान द्रव्यमान $M$ और $R/2$ त्रिज्या वाली एक अन्य डिस्क मोटर की पतली शाफ्ट पर स्थिर है। प्रारंभ में,दोनों डिस्क स्थिर हैं। मोटर को चालू किया जाता है ताकि छोटी डिस्क $\omega$ की एकसमान कोणीय गति से घूमे। यदि बड़ी डिस्क जिस कोणीय गति से घूमती है वह $\omega/n$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।