જો ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ની ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ અનુક્રમે $\frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $1$ હોય,તો ઉપવલયની પ્રધાન અક્ષ અને ગૌણ અક્ષની લંબાઈનો સરવાળો કેટલો થાય?

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ $(b > a)$ એ $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ઉત્કેન્દ્રતા ધરાવતું ઉપવલય છે. જો ઉપવલય અને પરવલય $y^2 = 4ax$ વચ્ચેનો છેદકોણ $\theta$ હોય,તો ઉપવલય પરના બિંદુના યામ શોધો:

જેના નાભિ $(0, \pm 1)$ હોય અને મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $\sqrt{5}$ હોય તેવું ઉપવલય કયું છે?

બિંદુ $(2, 3)$ માંથી ઉપવલય $5x^2 + 9y^2 = 32$ પર કેટલા વાસ્તવિક સ્પર્શકો દોરી શકાય?

એક ઉપવલયમાં,તેના નાભિઓ અને તેના મુખ્ય અક્ષના અંત્યબિંદુઓ સમાન અંતરે આવેલા છે. જો તેના અર્ધ-ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $2 \sqrt{2}$ હોય,તો તેના અર્ધ-મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ શોધો.

ધારો કે $E_{1}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, a > b$. ધારો કે $E_{2}$ એ બીજો ઉપવલય છે જે $E_{1}$ ની મુખ્ય અક્ષના અંત્યબિંદુઓને સ્પર્શે છે અને $E_{2}$ ના નાભિઓ એ $E_{1}$ ની ગૌણ અક્ષના અંત્યબિંદુઓ છે. જો $E_{1}$ અને $E_{2}$ ની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ સમાન હોય,તો $e$ નું મૂલ્ય શોધો: