બિંદુ $(2, 3)$ માંથી ઉપવલય $5x^2 + 9y^2 = 32$ પર કેટલા વાસ્તવિક સ્પર્શકો દોરી શકાય?

વક્ર $4x^2 + 9y^2 = 36$ માટે બિંદુ જ્યાં પ્રાચલિત ખૂણો $\theta = \frac{7\pi}{4}$ હોય, ત્યાં અભિલંબનું સમીકરણ શું છે?

$(5, 15)$ અને $(21, 15)$ પર નાભિ ધરાવતા ઉપવલયનો વિચાર કરો. જો $X$-અક્ષ એ ઉપવલયનો સ્પર્શક હોય,તો તેની મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ કેટલી થાય?

જો ઉપવલય $\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{32} = 1$ ને $- \frac{4}{3}$ ઢાળ ધરાવતો સ્પર્શક મુખ્ય અને ગૌણ અક્ષોને અનુક્રમે $A$ અને $B$ બિંદુઓમાં છેદે,તો $\Delta OAB$ નું ક્ષેત્રફળ .................. $sq. \text{ units}$ થાય ($O$ એ ઉપવલયનું કેન્દ્ર છે).

જો $\frac{\pi}{3}$ અને $\theta$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$ ની નાભિસ્થ જીવાના અંત્યબિંદુઓના ઉત્કેન્દ્રિય ખૂણા હોય,તો $\tan \theta=$

ધારો કે $C$ એ લંબવૃત્તીય $E: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ને આવરી લેતું ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ ધરાવતું વર્તુળ છે,જેની ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{1}{2}$ અને નાભિઓ $(\pm 2, 0)$ છે. ધારો કે $PQR$ એક ચલ ત્રિકોણ છે,જેનો શિરોબિંદુ $P$ વર્તુળ $C$ પર છે અને $2$ લંબાઈની બાજુ $QR$ એ $E$ ની મુખ્ય અક્ષને સમાંતર છે અને તે $E$ ના ઋણ $y$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુમાંથી પસાર થાય છે. તો ત્રિકોણ $PQR$ નું મહત્તમ ક્ષેત્રફળ શોધો: