यदि समीकरण x^5-3x^4-5x^3+27x^2-32x+12=0 के मू | vedclass

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Question

(C) माना $f(x) = x^5-3x^4-5x^3+27x^2-32x+12$. मूल ज्ञात करने के लिए,हम छोटी पूर्णांक मानों का परीक्षण करते हैं। $f(1) = 1-3-5+27-32+12 = 0$,अतः $(x-1)

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$3$

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(C) माना $f(x) = x^5-3x^4-5x^3+27x^2-32x+12$. मूल ज्ञात करने के लिए,हम छोटी पूर्णांक मानों का परीक्षण करते हैं। $f(1) = 1-3-5+27-32+12 = 0$,अतः $(x-1)$ एक गुणनखंड है। $f'(x) = 5x^4-12x^3-15x^2+54x-32$. $f'(1) = 5-12-15+54-32 = 0$,अतः $(x-1)^2$ एक गुणनखंड है। $f''(x) = 20x^3-36x^2-30x+54$. $f''(1) = 20-36-30+54 = 8 
eq 0$. इस प्रकार,$x=1$ एक $2$ की बहुलता (multiplicity) वाला मूल है। $f(x)$ को $(x-1)^2 = x^2-2x+1$ से विभाजित करने पर,हमें $x^3-x^2-6x+12$ प्राप्त होता है। $f'(x)$ में $x=2$ रखने पर $f'(2) = 0$ प्राप्त होता है। अतः $x=2$ समीकरण $f(x)$ और $f'(x)$ का मूल है,जिसका अर्थ है कि $(x-2)^2$ एक गुणनखंड है। $f(x)$ को $(x-1)^2(x-2)^2$ से विभाजित करने पर,हमें $(x+3)$ प्राप्त होता है। मूल $1, 1, 2, 2, -3$ हैं। गैर-पुनरावृत्त मूल $-3$ है। $-3$ को विभाजित करने वाली अभाज्य संख्या $3$ है।

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