જો $(4,2)$ અને $(8,2)$ નાભિ ધરાવતા અતિવલયનું સમીકરણ $3x^2-y^2-\alpha x+\beta y+\gamma=0$ હોય,તો $\alpha+\beta+\gamma$ ની કિંમત . . . . . . થાય.

ધારો કે $P(3,3)$ એ અતિવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ પરનું એક બિંદુ છે. જો $P$ આગળનો અભિલંબ $x$-અક્ષને $(9,0)$ માં છેદે અને $e$ તેની ઉત્કેન્દ્રતા હોય,તો ક્રમયુક્ત જોડ $(a^{2}, e^{2})$ બરાબર શું થાય?

એક અતિવલય (hyperbola) એ ઉપવલય (ellipse) $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$ ના નાભિઓમાંથી પસાર થાય છે અને તેના અનુપ્રસ્થ અને સંયુગ્મી અક્ષો અનુક્રમે ઉપવલયના મુખ્ય અને ગૌણ અક્ષો સાથે સંપાતી છે. જો તેમની ઉત્કેન્દ્રતાનો ગુણાકાર $1$ હોય,તો અતિવલયનું સમીકરણ ...... છે.

અતિવલય $y^{2}-16x^{2}=16$ માટે નાભિઓ અને શિરોબિંદુઓના યામ,ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ શોધો.

જો રેખા $\alpha x+2y=1$, જ્યાં $\alpha \in \mathbb{R}$, અતિવલય $x^{2}-9y^{2}=9$ ને મળતી ન હોય, તો $\alpha$ ની શક્ય કિંમત કઈ છે?

સમીકરણ $3x^2 + 7xy + 2y^2 + 5x + 5y + 2 = 0$ શું દર્શાવે છે?