यदि निम्नलिखित तीन रैखिक समीकरणों का एक गैर-तुच्छ (non-trivial) हल है, तो
$x+4ay+az=0$
$x+3by+bz=0$
$x+2cy+cz=0$

Question

(C) रैखिक समीकरणों के निकाय का गैर-तुच्छ हल होने के लिए, गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए।सारणिक इस प्रकार है:$\left|\begin{array}{ccc}1 & 4a

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$a, b, c$ $HP$ में हैं

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(C) रैखिक समीकरणों के निकाय का गैर-तुच्छ हल होने के लिए, गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए।सारणिक इस प्रकार है:$\left|\begin{array}{ccc}1 & 4a & a \ 1 & 3b & b \ 1 & 2c & c\end{array}ight|=0$प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:$1(3bc - 2bc) - 1(4ac - 2ac) + 1(4ab - 3ab) = 0$व्यंजक को सरल करने पर:$(bc) - (2ac) + (ab) = 0$$bc + ab = 2ac$दोनों पक्षों को $abc$ से विभाजित करने पर (मान लें कि $a, b, c 
eq 0$):$\frac{bc}{abc} + \frac{ab}{abc} = \frac{2ac}{abc}$$\frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{2}{b}$यह स्थिति दर्शाती है कि $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ $AP$ में हैं, जिसका अर्थ है कि $a, b, c$ $HP$ में हैं।

यदि निम्नलिखित तीन रैखिक समीकरणों का एक गैर-तुच्छ (non-trivial) हल है, तो
$x+4ay+az=0$
$x+3by+bz=0$
$x+2cy+cz=0$

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$\left|\begin{array}{ccc}x & 3 & 5 \\ 2 & 6 & 10 \\ 7 & 21 & 35\end{array}\right|=0$ का हल समुच्चय . . . . . . है।

यदि $\left|\begin{array}{lll}x+1 & x+2 & x+a \\ x+2 & x+3 & x+b \\ x+3 & x+4 & x+c\end{array}\right|=0$ है,तो $a, b, c$ हैं

सारणिक $\left| \begin{array}{ccc} 1 & \cos(\alpha - \beta) & \cos \alpha \\ \cos(\alpha - \beta) & 1 & \cos \beta \\ \cos \alpha & \cos \beta & 1 \end{array} \right|$ का मान है

यदि $f(x) = \left|\begin{array}{ccc} 1 & x & x+1 \\ 2x & x(x-1) & x(x+1) \\ 3x(x-1) & x(x-1)(x-2) & (x-1)x(x+1) \end{array}\right|$, तो $f(2012)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि निम्नलिखित तीन रैखिक समीकरणों का एक गैर-तुच्छ (non-trivial) हल है, तो$x+4ay+az=0$$x+3by+bz=0$$x+2cy+cz=0$

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यदि $\left|\begin{array}{lll}x+1 & x+2 & x+a \\ x+2 & x+3 & x+b \\ x+3 & x+4 & x+c\end{array}\right|=0$ है,तो $a, b, c$ हैं

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यदि $f(x) = \left|\begin{array}{ccc} 1 & x & x+1 \\ 2x & x(x-1) & x(x+1) \\ 3x(x-1) & x(x-1)(x-2) & (x-1)x(x+1) \end{array}\right|$, तो $f(2012)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि निम्नलिखित तीन रैखिक समीकरणों का एक गैर-तुच्छ (non-trivial) हल है, तो
$x+4ay+az=0$
$x+3by+bz=0$
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