જો વિધેય $f(x)=x^3+ax^2+bx+40$ એ અંતરાલ $[-5,4]$ પર રોલના પ્રમેયની શરતોનું પાલન કરે છે અને $-5,4$ એ સમીકરણ $f(x)=0$ ના બે બીજ છે, તો તે પ્રમેયમાં જણાવ્યા મુજબ $c$ ની કિંમતોમાંની એક કિંમત છે

નીચેનામાંથી કયું વિધેય આપેલ અંતરાલમાં રોલના પ્રમેયનું પાલન કરે છે?

આપેલ છે કે $f(x)$ એ $a \le x \le b$ પર સતત વિકલનીય છે જ્યાં $a < b, f(a) < 0$ અને $f(b) > 0$,તો નીચેનામાંથી કયા વિધાનો હંમેશા સાચા છે?
$(i)$ $f(x)$ એ $a \le x \le b$ પર સીમિત (bounded) છે.
$(ii)$ સમીકરણ $f(x) = 0$ ને $a < x < b$ માં ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ છે.
$(iii)$ $f(x)$ ની $a \le x \le b$ પર મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતો એવા બિંદુઓ પર મળે છે જ્યાં $f'(c) = 0$ હોય.
$(iv)$ $a < c < b$ માં ઓછામાં ઓછું એક બિંદુ $c$ એવું છે જ્યાં $f'(c) > 0$ હોય.
$(v)$ $a < d < b$ માં ઓછામાં ઓછું એક બિંદુ $d$ એવું છે જ્યાં $f'(d) < 0$ હોય.

ધારો કે $f:[a, b] \rightarrow R$ એવું છે કે $f$ એ $(a, b)$ માં વિકલનીય છે, $x=a$ અને $x=b$ પર સતત છે, અને $f(a)=0=f(b)$ છે. તો:

અંતરાલ $[1,3]$ માં List-$I$ માં આપેલા તમામ વિધેયોને ધ્યાનમાં લો. List-$II$ માં List-$I$ ના વિધેયો પર લેગ્રાન્જનું મધ્યકમાન પ્રમેય $(LMVT)$ લાગુ કરીને મેળવેલ '$c$' ના મૂલ્યો છે. વિધેયો અને '$c$' ના મૂલ્યોને જોડો.
(Table same as English)

ધારો કે $f(x)=2+\cos x$ તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે છે.
$\text{વિધાન}-1$: દરેક વાસ્તવિક $t$ માટે,$[t, t+\pi]$ માં એક બિંદુ $c$ એવું અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f^{\prime}(c)=0$ થાય. કારણ કે
$\text{વિધાન}-2$: દરેક વાસ્તવિક $t$ માટે $f(t)=f(t+2\pi)$ છે.