यदि फलन f(x)=2x^{3}-9ax^{2}+12a^{2}x+1 जहाँ a | vedclass

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Question

(A) दिया गया फलन $f(x)=2x^{3}-9ax^{2}+12a^{2}x+1$ है। सबसे पहले, अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें: $f'(x) = 6x^{2}-18ax+12a^{2}$. क्रांतिक बिंदु (critical poi

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$2$

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(A) दिया गया फलन $f(x)=2x^{3}-9ax^{2}+12a^{2}x+1$ है। सबसे पहले, अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें: $f'(x) = 6x^{2}-18ax+12a^{2}$. क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए $f'(x)=0$ रखें: $6(x^{2}-3ax+2a^{2})=0 \Rightarrow 6(x-a)(x-2a)=0$. अतः, क्रांतिक बिंदु $x=a$ और $x=2a$ हैं। अब, द्वितीय अवकलज $f''(x)$ ज्ञात करें: $f''(x) = 12x-18a$. क्रांतिक बिंदुओं की प्रकृति की जाँच करें: $x=a$ के लिए: $f''(a) = 12a-18a = -6a$. चूँकि $a>0$, इसलिए $f''(a) $x=2a$ के लिए: $f''(2a) = 12(2a)-18a = 6a$. चूँकि $a>0$, इसलिए $f''(2a) > 0$, अतः $f(x)$ का $q=2a$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है। शर्त $p^{2}=q$ दी गई है, मान रखने पर: $a^{2} = 2a$. चूँकि $a>0$, $a$ से विभाजित करने पर: $a = 2$.

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