alpha in R का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए जिसके ल | vedclass

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Question

(C) माना $f(x) = 4 \alpha x^2 + \frac{1}{x}$,जहाँ $x > 0$ है।$f(x)$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:$f'(x) = 8 \alph

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$\frac{1}{27}$

Vedclass · Answer

(C) माना $f(x) = 4 \alpha x^2 + \frac{1}{x}$,जहाँ $x > 0$ है।$f(x)$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:$f'(x) = 8 \alpha x - \frac{1}{x^2}$.क्रांतिक बिंदु के लिए $f'(x) = 0$ रखने पर:$8 \alpha x = \frac{1}{x^2}$ $\Rightarrow x^3 = \frac{1}{8 \alpha}$ $\Rightarrow x = \frac{1}{2 \alpha^{1/3}}$.न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए इस मान को $f(x)$ में रखने पर:$f\left(\frac{1}{2 \alpha^{1/3}}\right) = 4 \alpha \left(\frac{1}{4 \alpha^{2/3}}\right) + 2 \alpha^{1/3} = \alpha^{1/3} + 2 \alpha^{1/3} = 3 \alpha^{1/3}$.दिया गया है कि $f(x) \geq 1$,इसलिए $3 \alpha^{1/3} \geq 1$ $\Rightarrow \alpha^{1/3} \geq \frac{1}{3}$ $\Rightarrow \alpha \geq \frac{1}{27}$.अतः,$\alpha$ का न्यूनतम मान $\frac{1}{27}$ है।

$\alpha \in R$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $4 \alpha x^2 + \frac{1}{x} \geq 1$,सभी $x > 0$ के लिए सत्य हो।

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