જો વિકલ સમીકરણ y' = frac{y}{x} + phi left( fr | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \phi \left( \frac{x}{y} \right)$ છે.ધારો કે $v = \frac{y}{x}$,તેથી $y = vx$ અને $\frac{dy}{dx} = v

Vedclass · Accepted Answer

$-\frac{1}{4}$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \phi \left( \frac{x}{y} \right)$ છે.ધારો કે $v = \frac{y}{x}$,તેથી $y = vx$ અને $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.આ કિંમતો વિકલ સમીકરણમાં મૂકતા,$v + x \frac{dv}{dx} = v + \phi \left( \frac{1}{v} \right)$,જેનું સાદું રૂપ $x \frac{dv}{dx} = \phi \left( \frac{1}{v} \right)$ થાય છે.પદોને ગોઠવતા,$\frac{dv}{\phi(1/v)} = \frac{dx}{x}$.બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{dv}{\phi(1/v)} = \ln |x| + C_1$.આપેલ વ્યાપક ઉકેલ $y \ln |cx| = x$ ને $\ln |cx| = \frac{x}{y} = \frac{1}{v}$ તરીકે લખી શકાય.તેથી,$\ln |x| + \ln |c| = \frac{1}{v}$.બંને બાજુ $v$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{1}{x} \frac{dx}{dv} = -\frac{1}{v^2}$.આપણા અગાઉના સમીકરણ $x \frac{dv}{dx} = \phi(1/v)$ પરથી,$\frac{dx}{dv} = \frac{x}{\phi(1/v)}$.આ કિંમત વિકલિતના પરિણામમાં મૂકતા: $\frac{1}{x} \cdot \frac{x}{\phi(1/v)} = -\frac{1}{v^2}$,જે સૂચવે છે કે $\phi(1/v) = -v^2$.આપણે $\phi(2)$ શોધવા માંગીએ છીએ. ધારો કે $\frac{1}{v} = 2$,તેથી $v = \frac{1}{2}$.તેથી $\phi(2) = -(\frac{1}{2})^2 = -\frac{1}{4}$.

Similar Questions

જો વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{1+x}{2y}$ નો ઉકેલ બિંદુ $(1, 1)$ માંથી પસાર થતો શંકુ (conic) હોય,તો તેની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) કેટલી થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module