यदि एक अतिपरवलय (hyperbola) के अनुप्रस्थ (transverse) और संयुग्मी (conjugate) अक्षों की लंबाई क्रमशः $8$ और $6$ है,तो अतिपरवलय पर स्थित किसी भी बिंदु की नाभीय दूरियों का अंतर क्या होगा?

अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ का सहायक वृत्त (auxiliary circle) है:

अतिपरवलय $4x^2 - 5y^2 = 20$ के लिए रेखा $x - y = 2$ के समांतर स्पर्श रेखा का समीकरण क्या है?

अतिपरवलय $x^2 - y^2 = 8$ के किसी भी बिंदु से उसके अनंतस्पर्शी (asymptotes) पर डाले गए लंबों की लंबाइयों का गुणनफल है

एक अतिपरवलय $H$ के शीर्ष $(\pm 6, 0)$ हैं और इसकी उत्केंद्रता $\frac{\sqrt{5}}{2}$ है। मान लीजिए $N$,प्रथम चतुर्थांश में स्थित एक बिंदु पर $H$ का अभिलंब है और रेखा $\sqrt{2} x + y = 2 \sqrt{2}$ के समांतर है। यदि $d$,$H$ और $y$-अक्ष के बीच $N$ के रेखाखंड की लंबाई है,तो $d^2$ का मान $............$ है।

दी गई शर्तों को संतुष्ट करने वाले अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए: नाभियाँ $(\pm 3 \sqrt{5}, 0)$,नाभिलंब की लंबाई $8$ है।