अतिपरवलय $x^2 - y^2 = 8$ के किसी भी बिंदु से उसके अनंतस्पर्शी (asymptotes) पर डाले गए लंबों की लंबाइयों का गुणनफल है

एक अतिपरवलय (hyperbola) दीर्घवृत्त (ellipse) $\frac{x^2}{169}+\frac{y^2}{25}=1$ की एक नाभि (focus) से होकर गुजरता है। इसके अनुप्रस्थ और संयुग्मी अक्ष क्रमशः दीर्घवृत्त के दीर्घ और लघु अक्ष के साथ संपाती हैं। उनकी उत्केंद्रताओं (eccentricities) का गुणनफल $1$ है। तो,अतिपरवलय का समीकरण है

यदि $P(\frac{\pi}{6})$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ पर एक बिंदु है,$S$ और $S^{\prime}$ इसकी नाभियाँ हैं,और $SP + S^{\prime}P - 2|SP - S^{\prime}P| = 0$ है,तो उत्केंद्रता $e$ ज्ञात कीजिए।

यदि बिंदु $(4, 6)$ से गुजरने वाले मानक अतिपरवलय (hyperbola) की उत्केंद्रता (eccentricity) $2$ है,तो $(4, 6)$ पर अतिपरवलय की स्पर्श रेखा का समीकरण क्या है?

यदि अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर स्थित किसी बिंदु से इसके अनंतस्पर्शी (asymptotes) तक की लंबवत दूरियों का गुणनफल $6$ है और उत्केंद्रता $e = \sqrt{3}$ है,तो अतिपरवलय के अनुप्रस्थ अक्ष (transverse axis) की लंबाई ज्ञात कीजिए।

यदि $e_{1}$ और $e_{2}$ क्रमशः वक्रों $16x^{2}-9y^{2}=144$ और $9x^{2}-16y^{2}=144$ की उत्केंद्रता (eccentricity) को दर्शाते हैं,तो $\frac{1}{e_{1}^{2}}+\frac{1}{e_{2}^{2}}$ का मान ज्ञात कीजिए।