यदि बिंदु (1,2) से वृत्तों x^2+y^2+x+y-4=0 और | vedclass

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Question

(C) बिंदु $(x_1, y_1)$ से वृत्त $S: x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ पर स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{S_1} = \sqrt{x_1^2+y_1^2+2gx_1+2fy_1+c}$ होती है।प्रथम वृत्त $

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$\frac{-28}{3}$

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(C) बिंदु $(x_1, y_1)$ से वृत्त $S: x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ पर स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{S_1} = \sqrt{x_1^2+y_1^2+2gx_1+2fy_1+c}$ होती है।प्रथम वृत्त $C_1: x^2+y^2+x+y-4=0$ के लिए,$(1,2)$ से स्पर्श रेखा की लंबाई $L_1$:$L_1 = \sqrt{1^2+2^2+1+2-4} = \sqrt{4} = 2$.दूसरे वृत्त $C_2: 3x^2+3y^2-x-y-\lambda=0$ के लिए,समीकरण को $3$ से विभाजित करने पर:$x^2+y^2-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}y-\frac{\lambda}{3}=0$.$(1,2)$ से स्पर्श रेखा की लंबाई $L_2$:$L_2 = \sqrt{1^2+2^2-\frac{1}{3}-\frac{2}{3}-\frac{\lambda}{3}} = \sqrt{4-\frac{\lambda}{3}}$.दिया गया अनुपात $\frac{L_1}{L_2} = \frac{3}{4}$ के अनुसार:$\frac{2}{\sqrt{4-\frac{\lambda}{3}}} = \frac{3}{4} \Rightarrow \sqrt{4-\frac{\lambda}{3}} = \frac{8}{3}$.दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:$4-\frac{\lambda}{3} = \frac{64}{9} \Rightarrow \frac{\lambda}{3} = 4-\frac{64}{9} = -\frac{28}{9}$.अतः,$\lambda = -\frac{28}{3}$.

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