यदि रेखा $lx + my = 1$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ का अभिलंब है,तो $\frac{a^2}{l^2} - \frac{b^2}{m^2}$ का मान क्या होगा?

मान लीजिए $a$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं जैसे कि $a > 1$ और $b < a$ है। मान लीजिए $P$ प्रथम चतुर्थांश में स्थित एक बिंदु है जो अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर स्थित है। मान लीजिए $P$ पर अतिपरवलय की स्पर्श रेखा बिंदु $(1, 0)$ से होकर गुजरती है,और मान लीजिए $P$ पर अतिपरवलय का अभिलंब निर्देशांक अक्षों पर समान अंतःखंड काटता है। मान लीजिए $\Delta$ उस त्रिभुज का क्षेत्रफल है जो $P$ पर स्पर्श रेखा,$P$ पर अभिलंब और $x$-अक्ष द्वारा बनता है। यदि $e$ अतिपरवलय की उत्केंद्रता को दर्शाता है,तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन $TRUE$ है/हैं?
$(A)$ $1 < e < \sqrt{2}$
$(B)$ $\sqrt{2} < e < 2$
$(C)$ $\Delta = a^4$
$(D)$ $\Delta = b^4$

यदि एक अतिपरवलय (hyperbola) की उत्केंद्रता $\frac{5}{3}$ है,तो इसके संयुग्मी अतिपरवलय (conjugate hyperbola) की उत्केंद्रता क्या होगी?

मान लीजिए $x^2+y^2=16$ एक अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ के सहायक वृत्त का समीकरण है और $(4 \sqrt{2}, 3)$ अतिपरवलय पर स्थित एक बिंदु है। तब,अतिपरवलय की उत्केंद्रता क्या है?

यदि एक अतिपरवलय (hyperbola) का नाभिलंब (latus rectum) उसके केंद्र पर $120^{\circ}$ का कोण अंतरित करता है,तो उसकी उत्केंद्रता (eccentricity) क्या है?

अतिपरवलय $x^2-3y^2=3$ के बिंदु $(\sqrt{3}, 0)$ पर स्पर्श रेखा और अतिपरवलय के अनंतस्पर्शी (asymptotes) द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) ज्ञात कीजिए।