यदि रेखाएँ $\frac{x-1}{-3}=\frac{y-2}{2k}=\frac{z-3}{2}$ और $\frac{x-1}{3k}=\frac{y-5}{1}=\frac{z-6}{-5}$ एक-दूसरे पर लंब हैं,तो $k$ का मान है

मान लीजिए $O$ मूल बिंदु है,और $M$ तथा $N$ रेखाओं $\frac{x-5}{4}=\frac{y-4}{1}=\frac{z-5}{3}$ और $\frac{x+8}{12}=\frac{y+2}{5}=\frac{z+11}{9}$ पर स्थित बिंदु हैं,इस प्रकार कि $MN$ दी गई रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी है। तो $\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{ON}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उस रेखा की दिक्-कोज्याएँ (direction cosines) ज्ञात कीजिए जो रेखाओं $\frac{x-7}{2}=\frac{y+17}{-3}=\frac{z-6}{1}$ और $\frac{x+5}{1}=\frac{y+3}{2}=\frac{z-6}{-2}$ पर लंब है।

यदि रेखाएँ $\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 4}{-k}$ और $\frac{x - 1}{k} = \frac{y - 4}{2} = \frac{z - 5}{1}$ समतलीय हैं,तो $k = . . . . .$

बिंदु $A(3, 2, 0)$,$B(5, 3, 2)$ और $C(-9, 6, -3)$ एक त्रिभुज $ABC$ के शीर्ष हैं। यदि $AD$,$\angle BAC$ का आंतरिक समद्विभाजक है जो $BC$ को $D$ पर मिलता है,तो $D$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए:

$xy$-समतल में रेखा $l_{1}$ के $x$ और $y$ अंतःखंड क्रमशः $\frac{1}{8}$ और $\frac{1}{4 \sqrt{2}}$ हैं,और $zx$-समतल में रेखा $l_{2}$ के $x$ और $z$ अंतःखंड क्रमशः $-\frac{1}{8}$ और $-\frac{1}{6 \sqrt{3}}$ हैं। यदि रेखा $l_{1}$ और $l_{2}$ के बीच की न्यूनतम दूरी $d$ है,तो $d^{-2}$ का मान ज्ञात कीजिए।