જો રેખાઓ $kx + 2y - 4 = 0$ અને $5x - 2y - 4 = 0$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0$ ના સાપેક્ષમાં સંયુગ્મી (conjugate) હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $A=\{(x, y) \in R \times R \mid 2 x^{2}+2 y^{2}-2 x-2 y=1\}$,$B=\{(x, y) \in R \times R \mid 4 x^{2}+4 y^{2}-16 y+7=0\}$ અને $C=\{(x, y) \in R \times R \mid x^{2}+y^{2}-4 x-2 y+5 \leq r^{2}\}$ છે. તો $|r|$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો જેથી $A \cup B \subseteq C$ થાય.

ધારો કે $C$ એ વર્તુળ $x^2+(y-1)^2=2$ છે. ધારો કે $E_1$ અને $E_2$ બે ઉપવલયો છે જેના કેન્દ્રો ઉગમબિંદુ પર છે અને મુખ્ય અક્ષો અનુક્રમે $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ પર છે. ધારો કે સીધી રેખા $x+y=3$ એ વક્રો $C$,$E_1$ અને $E_2$ ને અનુક્રમે $P(x_1, y_1)$,$Q(x_2, y_2)$ અને $R(x_3, y_3)$ બિંદુએ સ્પર્શે છે. જો $P$ એ રેખાખંડ $QR$ નું મધ્યબિંદુ હોય અને $PQ = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ હોય,તો $9(x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3)$ ની કિંમત . . . . . . છે.

ધારો કે $AB$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 = r^2$ ની જીવા છે જે કેન્દ્ર પર કાટખૂણો આંતરે છે. તો જેમ $P$ વર્તુળ પર ફરે છે તેમ $\Delta PAB$ ના મધ્યકેન્દ્રનો બિંદુપથ શું હશે?

જો રેખા $ax + y = c$ એ વક્રો $x^2 + y^2 = 1$ અને $y^2 = 4\sqrt{2}x$ બંનેને સ્પર્શતી હોય,તો $|c|$ ની કિંમત શોધો.

વર્તુળ $x^2+y^2=4$ પર બિંદુ $P(\sqrt{3}, 1)$ આગળ સ્પર્શક $PT$ દોરવામાં આવ્યો છે. એક સીધી રેખા $L$,જે $PT$ ને લંબ છે,તે વર્તુળ $(x-3)^2+y^2=1$ નો સ્પર્શક છે.
$1.$ બે વર્તુળોનો સામાન્ય સ્પર્શક છે:
$(A)$ $x=4$ $(B)$ $y=2$ $(C)$ $x+\sqrt{3} y=4$ $(D)$ $x+2 \sqrt{2} y=6$
$2.$ $L$ નું એક શક્ય સમીકરણ છે:
$(A)$ $x-\sqrt{3} y=1$ $(B)$ $x+\sqrt{3} y=1$ $(C)$ $x-\sqrt{3} y=-1$ $(D)$ $x+\sqrt{3} y=5$