यदि फलन f(x)=left(frac{sqrt{3 e}}{2 sin x}rig | vedclass

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Question

(C) माना $y=\left(\frac{\sqrt{3 e}}{2 \sin x}\right)^{\sin ^2 x}$ है।दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln y = \sin^2 x \cdot \ln \left(\frac

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$e^3+e^6+e^{11}$

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(C) माना $y=\left(\frac{\sqrt{3 e}}{2 \sin x}\right)^{\sin ^2 x}$ है।दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln y = \sin^2 x \cdot \ln \left(\frac{\sqrt{3 e}}{2 \sin x}\right)$.$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 2 \sin x \cos x \ln \left(\frac{\sqrt{3 e}}{2 \sin x}\right) + \sin^2 x \cdot \frac{2 \sin x}{\sqrt{3 e}} \cdot \frac{\sqrt{3 e}}{2} \cdot (-\csc x \cot x)$.अवकलन को सरल करने पर: $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \sin x \cos x \left[ 2 \ln \left(\frac{\sqrt{3 e}}{2 \sin x}\right) - 1 \right]$.$\frac{dy}{dx} = 0$ रखने पर,हमें $2 \ln \left(\frac{\sqrt{3 e}}{2 \sin x}\right) = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\ln \left(\frac{3 e}{4 \sin^2 x}\right) = 1$.अतः,$\frac{3 e}{4 \sin^2 x} = e$,जिससे $\sin^2 x = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।चूँकि $x \in (0, \frac{\pi}{2})$,इसलिए $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.स्थानीय अधिकतम मान $f(x) = \left(\frac{\sqrt{3 e}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}\right)^{3/4} = (\sqrt{e})^{3/4} = e^{3/8}$ है।दिया गया है कि $e^{3/8} = \frac{k}{e}$,इसलिए $k = e^{1 + 3/8} = e^{11/8}$.अतः $k^8 = (e^{11/8})^8 = e^{11}$.इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\left(\frac{k}{e}\right)^8 + \frac{k^8}{e^5} + k^8 = (e^{3/8})^8 + \frac{e^{11}}{e^5} + e^{11} = e^3 + e^6 + e^{11}$.

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