यदि परवलय $x^{2}=ay$ रेखा $y-2x=1$ पर $\sqrt{40}$ इकाई लंबाई का अंतःखंड बनाता है, तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

$3$ के निरपेक्ष पद वाले एक द्विघात बहुपद $y = f(x)$ न तो $x$-अक्ष को स्पर्श करता है और न ही काटता है और रेखा $x = 1$ के परितः सममित है। बहुपद के अग्रणी पद का गुणांक इकाई है। कार्तीय आयताकार निर्देशांक प्रणाली $OXY$ में प्रथम चतुर्थांश में वक्र $y = f(x)$ पर एक बिंदु $A(x_1, y_1)$ जिसका भुज $x_1 = 1$ है और एक बिंदु $B(x_2, y_2)$ जिसका कोटि $y_2 = 11$ है,दिए गए हैं,जहाँ $O$ मूलबिंदु है। $y = f(x)$ का ग्राफ एक परवलय को दर्शाता है जिसकी नाभि (focus) के निर्देशांक हैं:

यदि $(2, k)$ एक परवलय पर स्थित बिंदु है जो $(1, -3), (-1, 5), (0, 2)$ बिंदुओं से होकर गुजरता है और जिसका अक्ष $Y$-अक्ष के समांतर है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

परवलय $x^2 = 4y$ की उस जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए जिसका समीकरण $x - \sqrt{2}y + 4\sqrt{2} = 0$ है।

बिंदु $(3, 2)$ पर परवलय $y^2 = 4ax$ के स्पर्शरेखा का समीकरण . . . . है।

मान लीजिए $BOAC$ $XY$-समतल में एक आयत है जहाँ $O$ मूलबिंदु है और $A, B$ परवलय $y=x^2$ पर स्थित हैं। तो,$C$ को किस वक्र पर स्थित होना चाहिए?