જો $\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$, $2 \hat{i}-\hat{k}$, $\hat{j}+2 \hat{k}$ અને $\hat{i}+\hat{j}+\lambda \hat{k}$ સ્થાન સદિશો ધરાવતા બિંદુઓ સમતલીય હોય, તો સદિશ $6 \lambda \hat{i}-3 \hat{j}+6 \hat{k}$ નું માન શોધો.

જો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ અસમતલીય સદિશો હોય,તો $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\vec{a} \cdot \vec{a}} & {\vec{a} \cdot \vec{b}} & {\vec{a} \cdot \vec{c}} \\ {\vec{b} \cdot \vec{a}} & {\vec{b} \cdot \vec{b}} & {\vec{b} \cdot \vec{c}} \\ {\vec{c} \cdot \vec{a}} & {\vec{c} \cdot \vec{b}} & {\vec{c} \cdot \vec{c}} \end{array}} \right| = \dots$

ધારો કે સદિશો $\overrightarrow{u}_1 = \hat{i} + \hat{j} + a\hat{k}$,$\overrightarrow{u}_2 = \hat{i} + b\hat{j} + \hat{k}$ અને $\overrightarrow{u}_3 = c\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ સમતલીય છે. જો સદિશો $\overrightarrow{v}_1 = (a+b)\hat{i} + c\hat{j} + c\hat{k}$,$\overrightarrow{v}_2 = a\hat{i} + (b+c)\hat{j} + a\hat{k}$ અને $\overrightarrow{v}_3 = b\hat{i} + b\hat{j} + (c+a)\hat{k}$ પણ સમતલીય હોય,તો $6(a+b+c)$ ની કિંમત $..............$ થાય.

ધારો કે $a=\hat{i}+\hat{j}$, $b=\hat{j}+\hat{k}$ અને $c=\hat{i}+\hat{k}$ છે. જો $d$ એક એવો એકમ સદિશ હોય કે જેથી $a \cdot d=0$ અને $b \cdot(c \times d)=0$ થાય, તો $d=$

ધારો કે $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$ અને $\overrightarrow{w}$ એ ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં સદિશો છે,જ્યાં $\overrightarrow{u}$ અને $\overrightarrow{v}$ એકમ સદિશો છે જે એકબીજાને લંબ નથી અને $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}=1, \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w}=1, \overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{w}=4$ છે. જો સમાંતરફલકનું ઘનફળ,જેની પાસપાસેની બાજુઓ $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$ અને $\overrightarrow{w}$ સદિશો દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,તે $\sqrt{2}$ હોય,તો $|3\vec{u}+5\vec{v}|$ નું મૂલ્ય શોધો.

એક સમાંતરફલક (parallelepiped) ની ધારની લંબાઈ એકમ છે અને તે અસમતલીય એકમ સદિશો $\hat{a}, \hat{b}, \hat{c}$ ને સમાંતર છે,જ્યાં $\hat{a} \cdot \hat{b} = \hat{b} \cdot \hat{c} = \hat{c} \cdot \hat{a} = 1/2$ છે. તો સમાંતરફલકનું ઘનફળ શોધો.