જો બહુપદી $f(x) = \left|\begin{array}{ccc} (1+x)^{a} & (2+x)^{b} & 1 \\ 1 & (1+x)^{a} & (2+x)^{b} \\ (2+x)^{b} & 1 & (1+x)^{a} \end{array}\right|$ હોય, તો $f(x)$ નું અચળ પદ શોધો ($a$ અને $b$ ધન પૂર્ણાંકો છે).

$3 \times 3$ શ્રેણિક $A$ માટે,જો $A(\operatorname{adj} A) = \begin{bmatrix} -10 & 0 & 0 \\ 0 & -10 & 2 \\ 0 & 0 & -10 \end{bmatrix}$ હોય,તો શ્રેણિક $A$ ના નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શોધો.

$A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \Rightarrow A^2-2A=$

ધારો કે $R = \begin{bmatrix} x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z \end{bmatrix}$ એ શૂન્યતર $3 \times 3$ શ્રેણિક છે,જ્યાં $x \sin \theta = y \sin \left(\theta + \frac{2 \pi}{3}\right) = z \sin \left(\theta + \frac{4 \pi}{3}\right) \neq 0$,$\theta \in (0, 2 \pi)$. ચોરસ શ્રેણિક $M$ માટે,$\text{trace}(M)$ એ $M$ ના તમામ વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો દર્શાવે છે. તો,નીચેના વિધાનોમાંથી:
$(I) \text{ Trace}(R) = 0$
$(II) \text{ જો trace}(\text{adj}(\text{adj}(R))) = 0, \text{ તો } R \text{ માં બરાબર એક શૂન્યતર ઘટક છે.}$

ધારો કે $A = [a_{ij}]_{2 \times 2}$ જ્યાં તમામ $i, j$ માટે $a_{ij} \neq 0$ અને $A^2 = I$ છે. ધારો કે $a$ એ $A$ ના તમામ વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો છે અને $b = |A|$ છે,તો $3a^2 + 4b^2$ ની કિંમત શોધો:

જો $A$ એ $n$ કક્ષાનો વિસંમિત શ્રેણિક (skew-symmetric matrix) હોય અને $C$ એ $n \times 1$ કક્ષાનો સ્તંભ શ્રેણિક હોય,તો $C^T AC$ એ શું છે?