यदि वास्तविक मान फलन f(x) = begin{cases} frac | vedclass

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Question

(B) $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए, $f(0) = \lim_{x 	o 0} f(x)$ होना चाहिए।दिया गया है $f(0) = k$, इसलिए हम सीमा का मान ज्ञात करते हैं:$\lim_{x

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$4$

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(B) $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए, $f(0) = \lim_{x 	o 0} f(x)$ होना चाहिए।दिया गया है $f(0) = k$, इसलिए हम सीमा का मान ज्ञात करते हैं:$\lim_{x 	o 0} f(x) = \lim_{x 	o 0} \frac{(4^x - 1)^4 \cot(x \log 4)}{\sin(x \log 4) \log(1 + x^2 \log 4)}$$= \lim_{x 	o 0} \frac{(4^x - 1)^4 \cos(x \log 4)}{\sin^2(x \log 4) \log(1 + x^2 \log 4)}$$= \lim_{x 	o 0} \left( \frac{4^x - 1}{x} ight)^4 \cdot \frac{x^4 \cos(x \log 4)}{\sin^2(x \log 4) \log(1 + x^2 \log 4)}$मानक सीमाओं $\lim_{x 	o 0} \frac{4^x - 1}{x} = \log 4$, $\lim_{x 	o 0} \frac{\sin(x \log 4)}{x \log 4} = 1$, और $\lim_{x 	o 0} \frac{\log(1 + x^2 \log 4)}{x^2 \log 4} = 1$ का उपयोग करते हुए:$= (\log 4)^4 \cdot \frac{1}{(\log 4)^2} \cdot \frac{1}{\log 4} \cdot \lim_{x 	o 0} \cos(x \log 4)$$= (\log 4)^4 \cdot \frac{1}{(\log 4)^3} \cdot 1 = \log 4$अतः, $k = \log 4$।इसलिए, $e^k = e^{\log 4} = 4$।

यदि वास्तविक मान फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{(4^x - 1)^4 \cot(x \log 4)}{\sin(x \log 4) \log(1 + x^2 \log 4)}, & x \neq 0 \\ k, & x = 0 \end{cases}$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है, तो $e^k = $

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