यदि समीकरण Z^3+i Z^2+2 i=0 के मूल एक त्रिभुज | vedclass

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Question

(C) दिया गया समीकरण $Z^3+i Z^2+2 i=0$ है। निरीक्षण द्वारा,$Z=i$ एक मूल है क्योंकि $i^3+i(i^2)+2i = -i-i+2i = 0$। बहुपद को $(Z-i)$ से विभाजित करने पर,ह

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एक समद्विबाहु त्रिभुज

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(C) दिया गया समीकरण $Z^3+i Z^2+2 i=0$ है। निरीक्षण द्वारा,$Z=i$ एक मूल है क्योंकि $i^3+i(i^2)+2i = -i-i+2i = 0$। बहुपद को $(Z-i)$ से विभाजित करने पर,हमें $(Z-i)(Z^2+2iZ-2)=0$ प्राप्त होता है। द्विघात सूत्र का उपयोग करके $Z^2+2iZ-2=0$ को हल करने पर: $Z = \frac{-2i \pm \sqrt{(2i)^2 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-2i \pm \sqrt{-4+8}}{2} = \frac{-2i \pm 2}{2} = -i \pm 1$। मूल $Z_1 = i$,$Z_2 = 1-i$,और $Z_3 = -1-i$ हैं। आर्गंड तल में इन बिंदुओं को निरूपित करने पर: $A(0, 1)$,$B(1, -1)$,और $C(-1, -1)$। भुजाओं की लंबाई की गणना: $AB = \sqrt{(1-0)^2 + (-1-1)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$। $BC = \sqrt{(-1-1)^2 + (-1-(-1))^2} = \sqrt{(-2)^2 + 0} = 2$। $AC = \sqrt{(-1-0)^2 + (-1-1)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$। चूंकि $AB = AC = \sqrt{5}$ है,इसलिए त्रिभुज एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

यदि समीकरण $Z^3+i Z^2+2 i=0$ के मूल एक त्रिभुज $ABC$ के शीर्ष हैं,तो वह त्रिभुज $ABC$ है

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