यदि समीकरण (z-4)^3=8 i के मूल a-2 i, b+i,और c | vedclass

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Question

(C) दिया गया समीकरण $(z-4)^3=8 i$ है। मान लीजिए $w = z-4$,तो $w^3 = 8 i = 8 e^{i \pi/2}$।मूल $w_k = 2 e^{i(\pi/2 + 2k\pi)/3}$ हैं,जहाँ $k=0, 1, 2$ है।

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$2 \sqrt{13}$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया समीकरण $(z-4)^3=8 i$ है। मान लीजिए $w = z-4$,तो $w^3 = 8 i = 8 e^{i \pi/2}$।मूल $w_k = 2 e^{i(\pi/2 + 2k\pi)/3}$ हैं,जहाँ $k=0, 1, 2$ है।$k=0$ के लिए,$w_0 = \sqrt{3} + i$।$k=1$ के लिए,$w_1 = -\sqrt{3} + i$।$k=2$ के लिए,$w_2 = -2 i$।चूँकि $z = w+4$,मूल $z_0 = 4+\sqrt{3}+i$,$z_1 = 4-\sqrt{3}+i$,और $z_2 = 4-2 i$ हैं।$a-2 i, b+i, c+i$ के साथ तुलना करने पर,$a=4, b=4+\sqrt{3}, c=4-\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।अतः $abc = 4(4+\sqrt{3})(4-\sqrt{3}) = 4(16-3) = 52$।इसलिए,$\sqrt{abc} = \sqrt{52} = 2 \sqrt{13}$।

यदि समीकरण $(z-4)^3=8 i$ के मूल $a-2 i, b+i$,और $c+i$ हैं,तो $\sqrt{a b c}=$

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