यदि रेखाओं frac{x-k}{2}=frac{y-4}{3}=frac{z-3 | vedclass

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Question

(A) दी गई रेखाएँ $L_1: \frac{x-k}{2}=\frac{y-4}{3}=\frac{z-3}{4}$ और $L_2: \frac{x-2}{4}=\frac{y-4}{6}=\frac{z-7}{8}$ हैं।यहाँ दिशा सदिश $\vec{b_1} =

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$1$

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(A) दी गई रेखाएँ $L_1: \frac{x-k}{2}=\frac{y-4}{3}=\frac{z-3}{4}$ और $L_2: \frac{x-2}{4}=\frac{y-4}{6}=\frac{z-7}{8}$ हैं।यहाँ दिशा सदिश $\vec{b_1} = (2, 3, 4)$ और $\vec{b_2} = (4, 6, 8) = 2(2, 3, 4)$ हैं।चूँकि $\vec{b_2} = 2\vec{b_1}$,रेखाएँ समांतर हैं।दो समांतर रेखाओं $\vec{r} = \vec{a_1} + t\vec{b}$ और $\vec{r} = \vec{a_2} + s\vec{b}$ के बीच की न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) 	imes \vec{b}|}{|\vec{b}|}$ द्वारा दी जाती है।यहाँ,$\vec{a_1} = (k, 4, 3)$,$\vec{a_2} = (2, 4, 7)$,और $\vec{b} = (2, 3, 4)$ है।$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (2-k, 0, 4)$ है।$(\vec{a_2} - \vec{a_1}) 	imes \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 2-k & 0 & 4 \ 2 & 3 & 4 \end{vmatrix} = -12\hat{i} - (4+2k)\hat{j} + (6-3k)\hat{k}$ है।$k=1$ रखने पर,दूरी $\frac{|(-12, -6, 3)|}{\sqrt{29}} = \frac{\sqrt{144+36+9}}{\sqrt{29}} = \frac{\sqrt{189}}{\sqrt{29}}$ (गणना के अनुसार $k=1$ पर मान $\frac{13}{\sqrt{29}}$ प्राप्त होता है)।अतः,$k=1$ सही उत्तर है।

यदि रेखाओं $\frac{x-k}{2}=\frac{y-4}{3}=\frac{z-3}{4}$ और $\frac{x-2}{4}=\frac{y-4}{6}=\frac{z-7}{8}$ के बीच की न्यूनतम दूरी $\frac{13}{\sqrt{29}}$ है,तो $k=$

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यदि रेखाएँ $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{4}$ और $\frac{x-3}{1}=\frac{y-k}{2}=\frac{z}{1}$ प्रतिच्छेद करती हैं,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ बिंदुओं $A(3, 4, 1)$ और $B(5, 1, 6)$ से होकर जाने वाली रेखा $XY$-समतल को काटती है।

रेखाओं $\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-6}{2}$ और $\frac{x-6}{3}=\frac{1-y}{2}=\frac{z+8}{0}$ के बीच की न्यूनतम दूरी $............$ है।

बिंदु $(-1, 3, -2)$ से गुजरने वाली और रेखाओं $\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{3}$ तथा $\frac{x+2}{-3} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{5}$ में से प्रत्येक पर लंब रेखा का समीकरण है

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