यदि अवकल समीकरण (tan^{-1} y - x) dy = (1 + y^ | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(	an^{-1} y - x) dy = (1 + y^2) dx$ है।पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{dx}{dy} = \frac{	an^{-1} y - x}{1 + y^2}$,जिसे $\f

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$\frac{2}{e}$

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(B) दिया गया अवकल समीकरण $(	an^{-1} y - x) dy = (1 + y^2) dx$ है।पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{dx}{dy} = \frac{	an^{-1} y - x}{1 + y^2}$,जिसे $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{1 + y^2} = \frac{	an^{-1} y}{1 + y^2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = \frac{1}{1 + y^2}$ और $Q(y) = \frac{	an^{-1} y}{1 + y^2}$ है।समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{1 + y^2} dy} = e^{	an^{-1} y}$ है।हल $x \cdot e^{	an^{-1} y} = \int Q(y) \cdot e^{	an^{-1} y} dy + C$ है।माना $u = 	an^{-1} y$,तो $du = \frac{1}{1 + y^2} dy$। समाकलन $\int u e^u du = u e^u - e^u + C$ हो जाता है।अतः,$x e^{	an^{-1} y} = (	an^{-1} y - 1) e^{	an^{-1} y} + C$।चूंकि वक्र बिंदु $(1, 0)$ से होकर गुजरता है,हम $x = 1$ और $y = 0$ प्रतिस्थापित करते हैं: $1 \cdot e^0 = (0 - 1) e^0 + C \Rightarrow 1 = -1 + C \Rightarrow C = 2$।वक्र का समीकरण $x e^{	an^{-1} y} = (	an^{-1} y - 1) e^{	an^{-1} y} + 2$ है।$y = 	an(1)$ के लिए,$	an^{-1} y = 1$। समीकरण में मान रखने पर:$x e^1 = (1 - 1) e^1 + 2 \Rightarrow x e = 2 \Rightarrow x = \frac{2}{e}$।

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