यदि y=y(x),sqrt{1-x^2} frac{dy}{dx} + frac{2x | vedclass

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Question

(A) दिया गया रैखिक अवकल समीकरण: $\sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx} + \frac{2x}{\sqrt{1-x^2}} y = x$ है। $\sqrt{1-x^2}$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है: $

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$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया रैखिक अवकल समीकरण: $\sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx} + \frac{2x}{\sqrt{1-x^2}} y = x$ है। $\sqrt{1-x^2}$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{1-x^2} y = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$। यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{2x}{1-x^2}$ और $Q(x) = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ है। समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2x}{1-x^2} dx} = e^{-\ln(1-x^2)} = \frac{1}{1-x^2}$ है। व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ है। $y \cdot \frac{1}{1-x^2} = \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \cdot \frac{1}{1-x^2} dx + C = \int x(1-x^2)^{-3/2} dx + C$। माना $u = 1-x^2$,तो $du = -2x dx$,इसलिए $x dx = -\frac{1}{2} du$। $y \cdot \frac{1}{1-x^2} = -\frac{1}{2} \int u^{-3/2} du + C = -\frac{1}{2} \frac{u^{-1/2}}{-1/2} + C = u^{-1/2} + C = (1-x^2)^{-1/2} + C$। अतः,$y = (1-x^2)^{1/2} + C(1-x^2)$। चूँकि $y(0) = 1$ दिया गया है,तो $1 = (1-0)^{1/2} + C(1-0) \Rightarrow 1 = 1 + C \Rightarrow C = 0$। इसलिए,$y = \sqrt{1-x^2}$। $x = \frac{1}{2}$ पर,$y\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{1 - (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$।

यदि $y=y(x)$,$\sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx} + \frac{2x}{\sqrt{1-x^2}} y = x$ का एक विशिष्ट हल है और $y(0)=1$ है,तो $y\left(\frac{1}{2}\right) = $

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