यदि एक G.P. के चार धनात्मक क्रमागत पदों का यो | vedclass

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Question

(A) माना $G.P.$ के चार धनात्मक क्रमागत पद $\frac{a}{r^3}, \frac{a}{r}, ar, ar^3$ हैं,जहाँ सार्व अनुपात $R = r^2$ है।दिया गया गुणनफल: $\frac{a}{r^3}

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$7$

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(A) माना $G.P.$ के चार धनात्मक क्रमागत पद $\frac{a}{r^3}, \frac{a}{r}, ar, ar^3$ हैं,जहाँ सार्व अनुपात $R = r^2$ है।दिया गया गुणनफल: $\frac{a}{r^3} 	imes \frac{a}{r} 	imes ar 	imes ar^3 = a^4 = 1296 \implies a = 6$.दिया गया योग: $\frac{a}{r^3} + \frac{a}{r} + ar + ar^3 = 126$.$a=6$ रखने पर: $\frac{6}{r^3} + \frac{6}{r} + 6r + 6r^3 = 126 \implies (r^3 + \frac{1}{r^3}) + (r + \frac{1}{r}) = 21$.माना $x = r + \frac{1}{r}$. तब $r^3 + \frac{1}{r^3} = x^3 - 3x$.अतः,$(x^3 - 3x) + x = 21 \implies x^3 - 2x - 21 = 0$.निरीक्षण द्वारा,$x=3$ एक मूल है: $27 - 6 - 21 = 0$.इस प्रकार,$r + \frac{1}{r} = 3 \implies r^2 - 3r + 1 = 0$.सार्व अनुपात $R = r^2$ है। $r^2 - 3r + 1 = 0$ से,$r^2 + 1 = 3r$.$r$ से भाग देने पर,$r + \frac{1}{r} = 3$. वर्ग करने पर $r^2 + \frac{1}{r^2} + 2 = 9 \implies r^2 + \frac{1}{r^2} = 7$.दो संभावित सार्व अनुपात $t^2 - 7t + 1 = 0$ के मूल हैं (क्योंकि $R + \frac{1}{R} = 7$)।सार्व अनुपातों का योग $7$ है।

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