જો શ્રેણી frac{1}{1+1^4 cdot 4} + frac{2}{1+2 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) સામાન્ય પદ $T_k = \frac{k}{1+4k^4}$ છે.છેદને આ રીતે લખી શકાય: $1+4k^4 = 1+4k^4+4k^2-4k^2 = (2k^2+1)^2 - (2k)^2 = (2k^2-2k+1)(2k^2+2k+1)$.આંશિક અપૂ

Vedclass · Accepted Answer

$276$

Vedclass · Answer

(C) સામાન્ય પદ $T_k = \frac{k}{1+4k^4}$ છે.છેદને આ રીતે લખી શકાય: $1+4k^4 = 1+4k^4+4k^2-4k^2 = (2k^2+1)^2 - (2k)^2 = (2k^2-2k+1)(2k^2+2k+1)$.આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા, $T_k = \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{2k^2-2k+1} - \frac{1}{2k^2+2k+1} ight]$.ધારો કે $f(k) = 2k^2-2k+1$. તો $f(k+1) = 2(k+1)^2-2(k+1)+1 = 2k^2+2k+1$.તેથી, $T_k = \frac{1}{4} [\frac{1}{f(k)} - \frac{1}{f(k+1)}]$.પ્રથમ $10$ પદોનો સરવાળો $S_{10} = \sum_{k=1}^{10} T_k = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^{10} [\frac{1}{f(k)} - \frac{1}{f(k+1)}]$.આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે: $S_{10} = \frac{1}{4} [\frac{1}{f(1)} - \frac{1}{f(11)}]$.$f(1) = 2(1)^2-2(1)+1 = 1$.$f(11) = 2(11)^2-2(11)+1 = 242-22+1 = 221$.$S_{10} = \frac{1}{4} [1 - \frac{1}{221}] = \frac{1}{4} \cdot \frac{220}{221} = \frac{55}{221}$.અહીં $	ext{gcd}(55, 221) = 1$ હોવાથી, $m=55$ અને $n=221$ મળે.તેથી, $m+n = 55+221 = 276$.

Similar Questions

$\sum_{k=1}^{13} \frac{1}{\sin \left(\frac{\pi}{4}+\frac{(k-1) \pi}{6}\right) \sin \left(\frac{\pi}{4}+\frac{k \pi}{6}\right)}$ નું મૂલ્ય શોધો.

શ્રેણી $\frac{3}{1^2} + \frac{5}{1^2 + 2^2} + \frac{7}{1^2 + 2^2 + 3^2} + ...$ ના $n$ પદોનો સરવાળો શોધો.

જો શ્રેણી $\frac{4(1)}{1+4(1)^4}+\frac{4(2)}{1+4(2)^4}+\frac{4(3)}{1+4(3)^4}+\ldots$ ના પ્રથમ $10$ પદોનો સરવાળો $\frac{m}{n}$ હોય,જ્યાં $\operatorname{gcd}(m, n)=1$,તો $m+n$ ની કિંમત . . . . . . થાય.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module