यदि श्रेणी frac{1}{1+1^4 cdot 4} + frac{2}{1+ | vedclass

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Question

(C) सामान्य पद $T_k = \frac{k}{1+4k^4}$ है।हर को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $1+4k^4 = 1+4k^4+4k^2-4k^2 = (2k^2+1)^2 - (2k)^2 = (2k^2-2k+1)(2k^2+2k+1)$

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$276$

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(C) सामान्य पद $T_k = \frac{k}{1+4k^4}$ है।हर को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $1+4k^4 = 1+4k^4+4k^2-4k^2 = (2k^2+1)^2 - (2k)^2 = (2k^2-2k+1)(2k^2+2k+1)$.आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर, $T_k = \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{2k^2-2k+1} - \frac{1}{2k^2+2k+1} ight]$.माना $f(k) = 2k^2-2k+1$. तब $f(k+1) = 2(k+1)^2-2(k+1)+1 = 2k^2+2k+1$.अतः, $T_k = \frac{1}{4} [\frac{1}{f(k)} - \frac{1}{f(k+1)}]$.प्रथम $10$ पदों का योग $S_{10} = \sum_{k=1}^{10} T_k = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^{10} [\frac{1}{f(k)} - \frac{1}{f(k+1)}]$.यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $S_{10} = \frac{1}{4} [\frac{1}{f(1)} - \frac{1}{f(11)}]$.$f(1) = 2(1)^2-2(1)+1 = 1$.$f(11) = 2(11)^2-2(11)+1 = 242-22+1 = 221$.$S_{10} = \frac{1}{4} [1 - \frac{1}{221}] = \frac{1}{4} \cdot \frac{220}{221} = \frac{55}{221}$.यहाँ $	ext{gcd}(55, 221) = 1$ है, इसलिए $m=55$ और $n=221$ है।अतः, $m+n = 55+221 = 276$.

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