यदि समीकरण निकाय $a_1 x + b_1 y + c_1 z = 0$,$a_2 x + b_2 y + c_2 z = 0$,और $a_3 x + b_3 y + c_3 z = 0$ का केवल तुच्छ हल (trivial solution) है,तो आव्यूह $A = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix}$ की कोटि (rank) क्या है?

मान लीजिए $f(x) = \begin{vmatrix} \cos x & \sin x & \cos x \\ \cos 2x & \sin 2x & 2\cos 2x \\ \cos 3x & \sin 3x & 3\cos 3x \end{vmatrix}$. तब $f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = $

यदि $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 2 \cos x & 1 & 0 \\ x - \frac{\pi}{2} & 2 \cos x & 1 \\ 0 & 1 & 2 \cos x \end{array} \right|$ है, तो $f^{\prime}(\pi)$ का मान ज्ञात कीजिए।

कुछ $a, b$ के लिए,मान लीजिए $f(x) = \left|\begin{array}{ccc} a+\frac{\sin x}{x} & 1 & b \\ a & 1+\frac{\sin x}{x} & b \\ a & 1 & b+\frac{\sin x}{x} \end{array}\right|, \quad x \neq 0$. यदि $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = \lambda + \mu a + \nu b$ है,तो $(\lambda + \mu + \nu)^2$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} \cos x & x & 1 \\ 2\sin x & x^2 & 2x \\ \tan x & x & 1 \end{array} \right|$ है,तो $\lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{x}$ ज्ञात कीजिए।

$A$ क्रम $5$ का एक सिंगुलर मैट्रिक्स है। $B$ एक अन्य मैट्रिक्स है जिसका रैंक $\rho(B)$, $\rho(A)$ के बराबर है और $B$ में $3$ क्रम का एक अशून्य माइनर (minor) है। तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?