यदि सदिश $\overrightarrow{a}=\hat{i}+a \hat{j}+a^{2} \hat{k}$,$\overrightarrow{b}=\hat{i}+b \hat{j}+b^{2} \hat{k}$ और $\overrightarrow{c}=\hat{i}+c \hat{j}+c^{2} \hat{k}$ तीन असमतलीय सदिश हैं और $\left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & 1+a^{3} \\ b & b^{2} & 1+b^{3} \\ c & c^{2} & 1+c^{3}\end{array}\right|=0$ है,तो $abc$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\overline{a}=\hat{i}-\hat{k}$,$\overline{b}=x \hat{i}+\hat{j}+(1-x) \hat{k}$ और $\overline{c}=y \hat{i}+x \hat{j}+(1+x-y) \hat{k}$ है,तो $\overline{a} \cdot(\overline{b} \times \overline{c})$ किस पर निर्भर करता है?

माना कि $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$, $\vec{b}=\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$, $\vec{c}=\hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k}$, और $\vec{d}=2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ चार सदिश हैं। माना कि $l=\vec{b} \cdot \vec{c}$ और $m=\vec{b} \cdot \vec{a}$ है। तो अदिश त्रिक गुणन $[(m\vec{b}+l\vec{a}) \quad \vec{b} \quad \vec{d}]$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक चतुष्फलक (tetrahedron) जिसके शीर्ष $A(-1, 2, 3)$, $B(3, -2, 1)$, $C(p, 1, 3)$, और $D(-1, -2, 4)$ हैं, का आयतन $\frac{16}{3}$ घन इकाई है। $p$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\overline{a}=a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}, \overline{b}=b_1 \hat{i}+b_2 \hat{j}+b_3 \hat{k}$ और $\overline{c}=c_1 \hat{i}+c_2 \hat{j}+c_3 \hat{k}$ अशून्य असमतलीय सदिश हैं और $m$ एक अशून्य अदिश इस प्रकार है कि $[m\overline{a}+\overline{b} \quad m\overline{b}+\overline{c} \quad m\overline{c}+\overline{a}] = 28[\overline{a} \quad \overline{b} \quad \overline{c}]$,तो $m$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना कि $\vec{a} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ है। $\lambda$ के किस मान के लिए सदिश $\vec{c} = \lambda\hat{i} + \hat{j} + (2\lambda - 1)\hat{k}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ को समाहित करने वाले समतल के समांतर है?