જો ગણ $\{1, 2, 3, \ldots, 50\}$ માંથી ત્રણ સંખ્યાઓ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે, તો તે સમાંતર શ્રેણીમાં હોય તેની સંભાવના કેટલી?

એક માણસ વારંવાર એક નિષ્પક્ષ સિક્કો ઉછાળે છે. તેને દરેક છાપ (head) માટે $10$ પોઈન્ટ અને દરેક કાંટા (tail) માટે $5$ પોઈન્ટ મળે છે. જો તેને બરાબર $30$ પોઈન્ટ મળે તેની સંભાવના $\frac{m}{n}$ હોય, જ્યાં $\text{gcd}(m, n) = 1$, તો $m + n$ ની કિંમત શોધો:

જો ત્રણ પાસા એકસાથે ફેંકવામાં આવે, તો તેના પરના અંકોનો સરવાળો અવિભાજ્ય સંખ્યા મળે તેની સંભાવના કેટલી છે?

આકૃતિમાં $6 \times 6$ ચોરસ ગ્રીડને ધ્યાનમાં લો. ધારો કે $A_1, A_2, \ldots, A_{49}$ એ છેદબિંદુઓ (ચિત્રમાં ટપકાં) છે. આપણે કહીએ છીએ કે $A_i$ અને $A_j$ મિત્રો છે જો તેઓ હાર અથવા સ્તંભમાં એકબીજાની બાજુમાં હોય. ધારો કે દરેક બિંદુ $A_i$ પસંદ થવાની સમાન તક ધરાવે છે.
$(1)$ ધારો કે $p_i$ એ સંભાવના છે કે યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલ બિંદુને $i$ મિત્રો છે,$i=0, 1, 2, 3, 4$. ધારો કે $X$ એક યાદચ્છિક ચલ છે જેથી $i=0, 1, 2, 3, 4$ માટે,સંભાવના $P(X=i)=p_i$ થાય. તો $7 E(X)$ નું મૂલ્ય શું છે?
$(2)$ બિંદુઓ $A_1, A_2, \ldots, A_{49}$ માંથી બે અલગ-અલગ બિંદુઓ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. ધારો કે $p$ એ સંભાવના છે કે તેઓ મિત્રો છે. તો $7 p$ નું મૂલ્ય શું છે?

થેલી $A$ માં $3$ સફેદ અને $4$ લાલ દડા છે,થેલી $B$ માં $4$ સફેદ અને $5$ લાલ દડા છે,અને થેલી $C$ માં $5$ સફેદ અને $6$ લાલ દડા છે. જો આ ત્રણેય થેલીઓમાંથી દરેકમાંથી એક દડો યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે,તો એક સફેદ અને બે લાલ દડા મેળવવાની સંભાવના કેટલી છે?

બે વ્યક્તિઓ $A$ અને $B$ વારાફરતી એક નિષ્પક્ષ પાસો (જેની બાજુઓ પર $1$ થી $6$ અંકિત છે) ફેંકે છે,જેની શરૂઆત $A$ કરે છે. જે વ્યક્તિ અગાઉના ખેલાડીના પરિણામથી અલગ પરિણામ મેળવે તે જીતે છે. $B$ જીતે તેની સંભાવના કેટલી?