यदि समुच्चय $\{1, 2, 3, \ldots, 50\}$ से तीन संख्याएँ यादृच्छिक रूप से चुनी जाती हैं, तो उनके समांतर श्रेणी में होने की प्रायिकता क्या है?

यदि $7$ पासे एक साथ फेंके जाते हैं,तो ऊपरी फलक पर सभी छह अंक दिखाई देने की प्रायिकता किसके बराबर है -

यदि $l, m$ समुच्चय $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ के किन्हीं दो तत्वों (समान या भिन्न) का प्रतिनिधित्व करते हैं,तो सभी $x \in R$ के लिए $lx^2 + mx + 1 > 0$ होने की प्रायिकता क्या है?

फुटबॉल टीमें $T_1$ और $T_2$ एक-दूसरे के खिलाफ दो मैच खेलती हैं। दोनों मैचों के परिणाम स्वतंत्र हैं। $T_1$ के $T_2$ के खिलाफ जीतने,ड्रा करने और हारने की प्रायिकताएं क्रमशः $\frac{1}{2}$,$\frac{1}{6}$ और $\frac{1}{3}$ हैं। प्रत्येक टीम को जीत के लिए $3$ अंक,ड्रा के लिए $1$ अंक और हार के लिए $0$ अंक मिलते हैं। मान लीजिए $X$ और $Y$ दो मैचों के बाद क्रमशः $T_1$ और $T_2$ टीमों द्वारा प्राप्त कुल अंक दर्शाते हैं।
$(1)$ $P(X>Y)$ क्या है?
$(A)$ $\frac{1}{4}$ $(B)$ $\frac{5}{12}$ $(C)$ $\frac{1}{2}$ $(D)$ $\frac{7}{12}$
$(2)$ $P(X=Y)$ क्या है?
$(A)$ $\frac{11}{36}$ $(B)$ $\frac{1}{3}$ $(C)$ $\frac{13}{36}$ $(D)$ $\frac{1}{2}$

समीकरणों की प्रणाली $ax + by = 0$ और $cx + dy = 0$ पर विचार करें,जहाँ $a, b, c, d \in \{0, 1\}$ है।
कथन $-1$: समीकरणों की प्रणाली का हल होने की प्रायिकता $1$ है।
कथन $-2$: समीकरणों की प्रणाली का अद्वितीय हल होने की प्रायिकता $\frac{3}{8}$ है।

एक साधारण घन (cube) के चार फलक खाली हैं,एक फलक पर $2$ और दूसरे पर $3$ अंकित है। तो $5$ बार फेंकने पर कुल योग $12$ प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है?