જો બે વર્તુળો બે બિંદુઓમાં છેદતા હોય,તો સાબિત કરો કે તેમના કેન્દ્રો સામાન્ય જીવાના લંબદ્વિભાજક પર આવેલા છે.

(N/A) ધારો કે $O$ અને $O^{\prime}$ કેન્દ્રવાળા બે વર્તુળો છે જે $A$ અને $B$ બિંદુઓમાં છેદે છે.
$AB$ એ બે વર્તુળોની સામાન્ય જીવા છે અને $OO^{\prime}$ એ કેન્દ્રોને જોડતો રેખાખંડ છે. ધારો કે $OO^{\prime}$ અને $AB$ એકબીજાને $M$ બિંદુમાં છેદે છે.
$OO^{\prime}$ એ $AB$ નો લંબદ્વિભાજક છે તે સાબિત કરવા માટે,આપણે $OA, OB, O^{\prime}A$ અને $O^{\prime}B$ ને જોડીએ છીએ.
$\Delta OAO^{\prime}$ અને $\Delta OBO^{\prime}$ માં:
$OA = OB$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ)
$O^{\prime}A = O^{\prime}B$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ)
$OO^{\prime} = OO^{\prime}$ (સામાન્ય બાજુ)
$SSS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta OAO^{\prime} \cong \Delta OBO^{\prime}$.
તેથી,$\angle 1 = \angle 2$ ($CPCT$ દ્વારા).
હવે,$\Delta AOM$ અને $\Delta BOM$ માં:
$OA = OB$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ)
$OM = OM$ (સામાન્ય બાજુ)
$\angle 1 = \angle 2$ (ઉપર સાબિત કર્યા મુજબ)
$SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta AOM \cong \Delta BOM$.
તેથી,$AM = BM$ ($CPCT$ દ્વારા) અને $\angle 3 = \angle 4$ ($CPCT$ દ્વારા).
$AB$ એ રેખાખંડ હોવાથી,$\angle 3 + \angle 4 = 180^{\circ}$ (રૈખિક જોડના ખૂણા).
આમ,$2 \angle 3 = 180^{\circ} \Rightarrow \angle 3 = 90^{\circ}$.
$\angle 3 = \angle 4 = 90^{\circ}$ અને $AM = BM$ હોવાથી,$OO^{\prime}$ એ $AB$ નો લંબદ્વિભાજક છે.