यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ $3x^2-5xy+2y^2=0$ द्वारा निरूपित हैं और इसका लंबकेंद्र $(2,1)$ है,तो तीसरी भुजा का समीकरण क्या है?

यदि दो सीधी रेखाओं के युग्मों के संयुक्त समीकरण $xy+4x-3y-12=0$ और $xy-3x+4y-12=0$ एक वर्ग बनाते हैं,तो उनके विकर्णों का संयुक्त समीकरण क्या है?

मान लीजिए $P$,$2x^2 - 5xy + 2y^2 + 6x - 3y = 0$ द्वारा निरूपित रेखाओं का युग्म है। निम्नलिखित स्वतंत्र कथनों पर विचार करें:
$(i)$ $\alpha$,रेखाओं के युग्म $P$ के प्रतिच्छेदन बिंदु का $x$-निर्देशांक है।
(ii) $\beta$,मूल बिंदु से गुजरने वाली $P$ की रेखाओं में से एक की ढाल है।
(iii) $\gamma$,$P$ के कोणीय द्विभाजकों के युग्म के समीकरण में अचर पद है।
तो,

यदि समीकरण $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ मूल बिंदु से समान दूरी पर स्थित दो सीधी रेखाओं को दर्शाता है,तो $f^4-g^4=$

यदि रेखाओं के युग्म $x^2+2 \sqrt{2} x y+k y^2=0, k>0$ के बीच का कोण $45^{\circ}$ है,तो दी गई रेखाओं के बीच के कोणों के समद्विभाजकों के युग्म और रेखा $x+2 y+1=0$ द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) क्या है?

रेखाओं $x+3y=10$ और $6x^2+xy-y^2=0$ द्वारा निर्मित त्रिभुज का लंबकेंद्र (orthocentre) है