यदि बहुपद $x^{4}-6 x^{3}-26 x^{2}+138 x-35$ के दो शून्यक $2 \pm \sqrt{3}$ हैं,तो अन्य शून्यक ज्ञात कीजिए।

(7, -5) दिया गया है कि $2+\sqrt{3}$ और $2-\sqrt{3}$ दिए गए बहुपद के शून्यक हैं।
इसलिए,$(x-(2+\sqrt{3}))(x-(2-\sqrt{3})) = ((x-2)-\sqrt{3})((x-2)+\sqrt{3}) = (x-2)^{2} - (\sqrt{3})^{2} = x^{2}-4x+4-3 = x^{2}-4x+1$ दिए गए बहुपद का एक गुणनखंड है।
अन्य शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम बहुपद $x^{4}-6 x^{3}-26 x^{2}+138 x-35$ को $x^{2}-4 x+1$ से विभाजित करेंगे:
$x^{4}-6 x^{3}-26 x^{2}+138 x-35 = (x^{2}-4 x+1)(x^{2}-2 x-35)$
अब,हम द्विघात बहुपद $x^{2}-2 x-35$ का गुणनखंड करेंगे:
$x^{2}-2 x-35 = x^{2}-7x+5x-35 = x(x-7)+5(x-7) = (x-7)(x+5)$
इन गुणनखंडों को शून्य के बराबर रखने पर,हमें $x-7=0$ या $x+5=0$ प्राप्त होता है,जिससे $x=7$ या $x=-5$ मिलता है।
अतः,अन्य दो शून्यक $7$ और $-5$ हैं।