આપેલ આકૃતિમાં,$\angle ADE = \angle AED$ અને $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$ છે. સાબિત કરો કે $\triangle ABC$ એક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.

(N/A) આપેલ છે: $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$ અને $\angle ADE = \angle AED$.
પ્રમેય $6.2$ (સમપ્રમાણતાના મૂળભૂત પ્રમેયનું પ્રતિપ) મુજબ,જો કોઈ રેખા ત્રિકોણની બે બાજુઓનું સમાન ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે,તો તે રેખા ત્રીજી બાજુને સમાંતર હોય છે.
તેથી,$DE \parallel BC$.
કારણ કે $DE \parallel BC$ અને $AB$ એક છેદિકા છે,તેથી અનુકોણ સમાન થાય:
$\angle ADE = \angle ABC$ ....... $(1)$
તે જ રીતે,$DE \parallel BC$ અને $AC$ એક છેદિકા હોવાથી:
$\angle AED = \angle ACB$ ....... $(2)$
આપણને આપેલ છે કે $\angle ADE = \angle AED$.
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ની કિંમતો આ સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\angle ABC = \angle ACB$.
$\triangle ABC$ માં,પાયાના ખૂણા સમાન હોવાથી $(\angle B = \angle C)$,આ ખૂણાઓની સામેની બાજુઓ પણ સમાન હોવી જોઈએ.
તેથી,$AB = AC$.
$\triangle ABC$ ની બે બાજુઓ સમાન હોવાથી,$\triangle ABC$ એક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.